14. Обобщение полученных результатов.

При изложении теории интегральных уравнений мы предполагали, что искомая функция и свободный член суть функции одной независимой переменной, которая может меняться в некотором промежутке Этот же промежуток был промежутком изменения и для обоих аргументов ядра Вся теория останется совершенно неизменной, если мы будем предполагать, что функции суть функции точки в некоторой ограниченной области В любого числа измерений или на некоторой поверхности или на некоторой кривой. При этом ядро будет функцией пары точек М и N, каждая из которых может меняться

в упомянутой области или на поверхности или на - кривой, и знак интеграла в интегральном уравнении надо понимать как интегрированйе по упомянутой области или поверхности или кривой, так что интегральное уравнение запишется в виде

Мы пишем лишь один знак интеграла, но надо помнить, что интеграл может быть кратным интегралом, распространенным по упомянутой области, и обозначает элемент площади или объема этой области или элемент длины кривой. Например, если областью изменения является некоторая ограниченная область В на плоскости то уравнение (94) в координатах может быть записано следующим образом:

Функцию f(М) мы считаем непрерывной в замкнутой области В и ищем непрерывные в этой области решения Ядро считается непрерывной функцией пары точек причем каждая может меняться в замкнутой области В.

Рассмотрим теперь систему интегральных уравнений относительно такого же числа искомых функций:

Вместо ядра мы имеем в данном случае матрицу функций

Нетрудно привести написанную систему к одному интегральному уравнению с одной искомой функцией. Чтобы не усложнять дело излишними обозначениями, положим, что :

Выше мы говорили, что вся теория интегральных уравнений остается неизменной, если основной областью является не промежуток, а любая ограниченная область на плоскости, на поверхности или в пространстве. Можно считать также, что переменная точка пробегает не один отрезок или не одну область, а несколько отдельно лежащих, отрезков или областей. Вся теория остается при этом совершенно неизменной. Для приведения системы (95) к одному уравнению возьмем за основную область промежуток

взятый два раза, или, иначе говоря, мы берем за основную область два экземпляра промежутка Эти экземпляры друг с другом никак не связаны. Мы считаем если точка М находится на первом экземпляре, и если точка М находится на втором экземпляре. Аналогично определяется и через . Ядро определяется следующим образом:

При этом система (94) приводится к одному интегральному уравнению с непрерывным ядром в основной области J, состоящей из двух экземпляров отрезка

Интегрирование производится по обоим экземплярам промежутка и можно считать

Изложенная теория остается справедливой и при более общих предположениях относительно ядра, чем его непрерывность. Можно, например, предположить, что ограничено и имеет конечное число точек и линий разрыва непрерывности, причем линии имеют уравнения вида Такие ядра мы будем называть в дальнейшем регулярными. Отметим, что если ядро имеет разрыв вдоль прямой (ядро не регулярно), то и функция

будет, вообще говоря, иметь разрыв вдоль и при предположении непрерывности

Пусть ядро регулярно и, для определенности, предположим, что его разрывы находятся на диагонали квадрата , а функция например, непрерывна и тем самым ограничена, т. е. , где — некоторое положительное число. Мы имеем

При любом заданном положительном существует, ввиду ограниченности подынтегральной функции, такое положительное число , что написанный интеграл по промежутку будет меньше . Положим, что s находится внутри этого промежутка. При интегрировании по оставшимся промежуткам и

подынтегральная функция будет непрерывной функцией двух переменных s и t и, следовательно, при всех s, достаточно близких к s, интеграл по упомянутым двум промежуткам будет также меньше . Отсюда следует, что левая часть неравенства (99) при всех s, достаточно близких к s, будет меньше а это дает, в силу произвольности , непрерывность функции Аналогичным образом можно показать, что если два ядра, удовлетворяющих указанному выше условию, то функция

будет непрерывной функцией своих аргументов. Таким образом, если ядро удовлетворяет указанным выше условиям, то второе повторное ядро будет уже непрерывным. Изменение порядка интегрирования, которым мы пользовались при доказательстве основных теорем, останется справедливым и при сделанном предположении об ядре.

Вопрос становится гораздо более сложным, если ядро неограничено. В дальнейшем мы исследуем этот вопрос и выделим те неограниченные ядра, для которых имеют место доказанные выше, теоремы.