38. Теорема Дини.
Докажем одну теорему, которой будем пользоваться в дальнейшем.
Теорема. Если члены ряда
- непрерывные неотрицательные функции в промежутке 
ряд сходится во всякой точке этого промежутка и его сумма есть непрерывная функция в упомянутом промежутке, то ряд (242) сходится равномерно в 
Обозначим через 
остаточный член ряда (242):
Поскольку члены ряда и сумма ряда по условию являются непрерывными функциями, то и функция 
будет непрерывной функцией в промежутке 
При любом фиксированном 
она не может возрастать при возрастании 
, так как члены ряда неотрицательны, т. е. мы имеем 
Обозначим через 
наибольшее значение, которое принимает неотрицательная непрерывная функция 
в промежутке 
и пусть 
та точка этого промежутка, в которой это значение достигается, т. е. 
Покажем, что при возрастании 
числа 
не могут возрастать, т. е. 
Действительно, 
Но значение 
не может быть больше наибольшего значения 
функции 
в промежутке 
откуда и следует, что 
Невозрастающая последовательность положительных чисел 
должна иметь предел, который может быть нулем или положительным числом: если этот предел есть нуль, то равномерная сходимость ряда (242) обеспечена, поскольку наибольшее значение его остаточного члена стремится к нулю при 
Остается доказать, что предел чисел 
не может быть положительным числом. Будем доказывать от обратного. Все числа которые мы ввели выше, находятся на конечном промежутке 
и, следовательно, на этом промежутке будет существовать хотя бы одна точка 
сгущения этих чисел [II; 92], т. е. такая точка, что в любой малой ее окрестности находится бесчисленное множество чисел 
. В точке 
ряд, по условию, сходится и,
следовательно, мы можем фиксировать такой достаточно большой значок N, что где буквой 
мы обозначали предполагаемый положительный предел последовательности 
Поскольку функция 
есть непрерывная функция, мы можем найти точку 
при 
настолько близкую к с, что и в этой точке 
будет соблюдено неравенство 
как, по условию, 
то мы имеем 
, т. е. оказывается, что 
противоречит тому, что числа 
стремятся, не возрастая, к пределу 
Установленное противоречие и доказывает теорему Дини.
Мы знаем, что если члены ряда — непрерывные функции и ряд сходится равномерно, то и сумма ряда непрерывная функция. В общем случае обратная теорема несправедлива, т. е. из непрерывности суммы нельзя заключать о равномерной сходимости ряда. Теорема Дини утверждает, что если члены ряда не только непрерывные, но и неотрицательные функции, то это обратное утверждение справедливо, т. е. из непрерывности суммы вытекает равномерная сходимость ряда.
