10. Случай характеристического значения.

Теорема 1 дает полный ответ о решении уравнения (42) в том случае, когда не есть характеристическое значение. В настоящем параграфе. Мы займемся этим вопросом в том случае, когда есть характеристическое значение.

Пусть — характеристическое значение, и положим, что неоднородное уравнение (42) имеет решение Умножим обе его части на какое-либо решение союзного однородного уравнения (65) и проинтегрируем по s:

Пользуясь (65), получим

откуда

т. e. для разрешимости уравнения (42) необходимо, чтобы удовлетворяла условию (66), где любое решение уравнения (65), среди решений которого наверно есть отличные от нуля, ибо Я, по условию, — характеристическое значение. Если же — не характеристическое значение, то уравнение (42) в силу теоремы 1 имеет решение при любом Таким образом, справедлива Теорема 7. Имеются две возможности: или интегральное уравнение (42) разрешимо при любом и однородное уравнение (61) имеет только пулевое решение, или однородное уравнение (61) имеет решения, отличные от нулевого, и уравнение (42) разрешимо не при всякой

При первой возможности неоднородное уравнение имеет единственное решение. Это следует из теоремы 1, а также из следующих простых соображений: если бы неоднородное уравнение имело два различных решения, то их разность была бы решением однородного уравнения, отличным от нулевого.

Замечание. Если известно, что при некотором К и некоторой неоднородное уравнение (42) имеет решение и притом только одно, то не есть характеристическое значение. Действительно, если бы К было характеристическим значением, то мы, добавив к упомянутому решению неоднородного уравнения любое решение соответствующего однородного уравнения, отличное от нулевого, получили бы решение неоднородного уравнения, отличное от упомянутого.

Дальше мы увидим, что условие (66) не только необходимо, но и достаточно для разрешимости уравнения (42). Предварительно выясним вопрос о ранге характеристического значения [4].

Пусть К — характеристическое значение и

— какие-либо линейно-независимые собственные функции, т. е. решения уравнения (61), отличные от нулевого:

Если или ядро не вещественны, то и функции (67) мы должны считать комплексными. Напомним, что не может быть характеристическим значением [4]. Поскольку любая линейная комбинация с постоянными коэффициентами собственных функций (67) есть также собственная функция, мы можем применить к функциям (67) процесс ортогонализации. Таким образом, мы можем считать, что функции (67) взаимно ортогональны и нормированы, т. е.

Переходя к сопряженным величинам, можем переписать (68) в виде

Отсюда видно, что левая часть этого равенства есть коэффициент Фурье как функции аргумента t относительно ортогональной нормированной системы (67), состоящей из конечного числа функций. В силу неравенства Бесселя можем написать [3]:

Отметим, что при любом комплексном а. Интегрируя обе части этого неравенства по s и принимая во внимание (69), получим

или

откуда

причем в силу непрерывности ядра интеграл, стоящий справа, можно толковать и как двойной интеграл. Из написанного неравенства следует, что число линейно-независимых функций, соответствующих характеристическому значению , не может превышать числа, стоящего в правой части этого неравенства, т. е.

Теорема 8. Всякому характеристическому значению соответствует лишь конечное число линейно-независимых собственных функций, т. е. ранг всякого характеристического значения конечен.

Отметим, что для характеристических значений , далеких от начала правая часть последнего неравенства становится большой ввиду множителя

Пусть — характеристическое значение. Уравнения (61) и (65) одновременно имеют решения, отличные от нуля. Покажем, что ранг характеристических значений этих уравнений одинаков.

Теорема 9. Однородное уравнение (61) и союзное уравнение (65) имеют одинаковое число линейно-независимых решений, т. е. ранг их совпадающих характеристических значений одинаков.

Будем доказывать от обратного. Положим, что ранг уравнения (61) равен , а ранг уравнения (65) равен и пусть . Приведем это к противоречию. Пусть

- линейно-независимые решения уравнения (61), и

- линейно-независимые решения уравнения (65). Как и выше, мы можем считать, что как функции (70), так и функции (71) образуют ортогональную нормированную систему. Мы имеем

Составим новое ядро:

и напишем два союзных уравнения:

В силу (73) мы можем переписать эти уравнения в таком виде:

Пусть есть какое-либо решение уравнения Умножим обе части на , где k — какое-либо из чисел , и проинтегрируем по

Принимая во внимание (72), а также ортогональность и нормированность функций (71), можем переписать это равенство и виде

откуда в силу следует:

Таким образом, всякое решение уравнения удовлетворяет условиям (76). Но в силу этих условий уравнение мощно переписать в виде

т. е. всякое решение уравнения (74) [т. е. (74)] удовлетворяет и уравнению (61). Тем самым должно представляться в виде линейной комбинации функций (70):

Покажем, что все коэффициенты должны равняться нулю. Умножим обе части (77) на и проинтегрируем по

Пользуясь (76) и ортогональностью и нормированностью функций (70), получим Таким образом, из (77) следует т. е. однородное уравнение (74) имеет только нулевое решение. Покажем, что союзное уравнение (75) имеет решения, отличные от нулевого. Подставим в , где Принимая во внимание, что функции (71) образуют ортогональную, нормированную систему, получим

откуда в силу (72) и видно, что при удовлетворяет уравнению (75). Итак, мы получили противоречие с теоремой 7: уравнение (74) имеет только нулевое решение, а союзное уравнение (75) имеетрешения, отличные от нулевого. Таким образом, случай невозможен.

Точно так же доказывается, что и случай невозможен и потому и теорема 9 доказана.

Отметим, что из сказанного выше вытекает, что однородные уравнения (74) и (75) имеют только нулевое решение, т. е. не есть характеристическое значение ядра

Перейдем теперь к вопросу о решении неоднородного уравнения:

если — характеристическое значение. Мы видели, что для разрешимости уравнения (78) необходимо, чтобы удовлетворяла условию:

где - любое решение уравнения:

Переходим теперь к доказательству достаточности условия (79). Пусть оно выполнено. Составляем ядро согласно формуле (73). Как мы показали, уже не есть характеристическое значение этого ядра, так что уравнение

имеет радение. Перепишем это уравнение в виде:

Умножая, как и при доказательстве теоремы 9, на и интегрируя по s, получим

откуда в силу (79) получаем:

Таким образом, уравнение или, что то же самое, уравнение (81), сводится к уравнению (78), т. е. решение уравнения (81) является и решением уравнения (78). Достаточность условия (79) доказана.

Если это условие выполнено, то, как всегда для линейных неоднородных уравнений, все решения этого уравнения представляют собой сумму какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения:

где — произвольные постоянные. Тем самым в этом случае уравнение (78) имеет бесчисленное множество решений. Решение можно построить при помощи резольвенты ядра

Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме.

Теорема 10. Если есть характеристическое значение, то для разрешимости уравнения (78) необходимо и достаточно, чтобы свободный член удовлетворял условию (79), в котором любая собственная функция союзного уравнения, т. е. любое решение уравнения (80). Если условие (79) выполнено, то уравнение имеет бесчисленное множество решений, а все эти решения выражаются формулой (82).

Замечание. Достаточно проверить условие (79), подставляя вместо полный набор линейно-независимых решений уравнения (80), ибо всякое другое решение есть их линейная комбинация. Таким образом, если условие (79) выполнено при , то оно выполнено и для любого решения уравнения (80).

Вместо уравнения, союзного с однородным уравнением

а именно, уравнения

часто рассматривают сопряженное с (83) уравнение:

Уравнения (84) имеют комплексно-сопряженные решения: и условие разрешимости (79) должно иметь вид

где - любое решение уравнения (842). Аппарат, на основании которого были доказаны основные теоремы, был впервые дан Фредгольмом (1903 г.). Эти теоремы аналогичны тем, которые были доказаны в алгебре при решении систем линейных уравнений