80. Инвариантность уравнений Эйлера и Остроградского.
При разыскании экстремума функции одной переменной 
мы можем совершать замену независимой переменной, вводя вместо 
новую независимую переменную 
причем мы считаем 
монотонной и имеющей производную, отличную от нуля. Правило дифференцирования сложной функции дает
Необходимое условие экстремума в новой независимой переменной будет 
и в силу 
это новое условие равносильно прежнему 
Можно получить формулу, аналогичную формуле (92), и для левой части уравнения Эйлера в различных случаях. Начнем с рассмотрения простейшего функционала:
и, для краткости письма, введем специальное обозначение для левой части уравнения Эйлера:
Вводя новую независимую переменную можем написать
и интеграл J в новой независимой переменной принимает вид
Вводя близкую функцию 
и производя обычные вычисления, мы получим
Это же выражение в новой независимой переменной может быть записано в таком виде:
Приравнивая оба полученные результата, можем написать
откуда ввиду произвольности функции 
согласно лемме 1 [71] будем иметь
причем символ, стоящий справа, должен быть раскрыт в предположении, что независимой переменной является т. е.
Формула (94) совершенно аналогична формуле (92), о которой 
, очевидно, равносильно уравнению Эйлера Все это может быть обобщено и на тот случай, когда подынтегральная функция содержит несколько искомых функций.
Рассмотрим функционал для случая двух независимых переменных:
Введем вместо 
две новые независимые переменные 
причем мы считаем, что написанные функции имеют непрерывные производные и что соответствующий им функциональный определитель не обращается в нуль. Преобразуем подынтегральную функцию к новым независимым переменным:
Вводя, как и выше, близкую функцию 
дифференцируя интеграл по а и полагая 
будем иметь
где 
— результат преобразования области В при помощи указанной выше замены переменных, обычное обозначение для функционального определителя, и символ 
обозначает левую часть уравнения Остроградского, т. е., например,
Совершая в интеграле, стоящем в правой части формулы 
, замену переменных и пользуясь произвольностью функции 
мы
получим следующую формулу преобразования левой части уравнения Остроградского к новым независимым переменным:
Совершенно аналогичная формула получается и в случае большего числа независимых переменных. Уравнение Остроградского 
равносильно уравнению Остроградского 
в новых независимых переменных.
Можно совершать и одновременную замену независимых переменных и функции. Так, например, если мы в случае функционала (93) введем вместо 
новые переменные 
то вместо функции 
в новых переменных будем иметь функцию 
Преобразуя функционал (93) к новым переменным, получим
и, как и выше, уравнение Эйлера 
будет равносильно уравнению Эйлера 
В следующем параграфе мы исследуем уравнение Эйлера в том случае, когда функциональная зависимость 
задается в параметрической форме.
