18. Случай характеристического значения.

Положим теперь, что К есть характеристическое значение. Если одно из однородных уравнений

имеет конечное число линейно-независимых решений, то, повторяя доказательство теоремы 9 [10], покажем, что и второе уравнение имеет столько же линейно-независимых решений. После этого, совершенно так же как и в [10], можно показать, что условие (120), где любое решение (1212), является не только необходимым, но и достаточным условием разрешимости уравнения (110).

Остается показать, что число линейно-независимых решений, например, уравнения конечно.

Доказываем от обратного. Положим, что уравнение имеет бесконечное множество линейно-независимых решений

Можно считать, что решения эти попарно ортогональны

и удовлетворяют неравенству

причем достигается знак равенства. Из (122) и (124) следует, что равностепенно непрерывны в и что существует в последовательности подпоследовательность, которая стремится равномерно в к некоторой предельной функции Переходя в формуле (123) по этой подпоследовательности к пределу, будем иметь

и еще раз переходя к пределу по знаку

Но функция не может быть равна тождественно нулю, так как в (124) при всяком имеет место знак равенства, и формула приводит нас к противоречию. Тем самым доказано, что уравнение имеет лишь конечное число линейно-независимых решений.

Таким образом, для ядер вида (102) доказано еще следующее: если — характеристическое значение уравнения (110), то уравнения (1212) и (1212) имеют одинаковое конечное число линейно-независимых решений, и для разрешимости уравнения (110) необходимо и достаточно, чтобы свободный член удовлетворял условию (120), где любое решение уравнения (1212).

В одном из следующих параграфов мы докажем, что для полярных ядер во всякой ограниченной части плоскости может существовать лишь конечное число характеристических значений и каждое из них может иметь лишь конечный ранг.