106. Интеграл Дирихле.

Рассмотрим теперь функционал

где В — круг с центром в начале координат и радиусом единица. Написанный интеграл называется обычно интегралом Дирихле. Мы будем рассматривать этот функционал в классе D функций непрерывных в замкнутом круге имеющих внутри этого круга непрерывные производные первого порядка и удовлетворяющих на границе l круга предельному условию

где заданная на окружности l непрерывная функция полярного угла . Поскольку мы не предполагаем непрерывности частных чпроизводных их и в замкнутом круге, мы должны толковать интеграл (263) как несобственный интеграл, т. е. как предел интегралов по кругам радиуса при . Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, интеграл по не убывает при возрастании , и упомянутый предел или конечен или равен . В первом случае, как обычно, мы говорим, что интеграл сходится, а во втором, что он расходится. Можно считать, что в последнем случае величина интеграла равна Уравнение Остроградского для функционала (263) есть уравнение Лапласа [76]:

и мы вправе ожидать, что гармоническая в круге В функция, принимающая на предельные значения (264), дает функционалу (263) наименьшее значение в указанном классе D. Мы знаем, что такая гармоническая функция существует и единственна Обозначим ее через

Покажем прежде всего, что можно так задать непрерывную функцию входящую в условие (264), что функционал (263) для

будет равен . Действительно, положим

Написанный ряд сходится, очевидно, абсолютно и равномерно относительно и определяет непрерывную периодическую с периодом функцию . Решение задачи Дирихле с предельными значениями (266) имеет вид [II; 206]

В интеграле (263) перейдем к полярным координатам:

Мы имеем

причем написанные ряды сходятся абсолютно и равномерно относительно в любом круге , где . Принимая во внимание ортогональность синусов и косинусов кратных дуг на промежутке длины получим

и при сумма последнего ряда беспредельно возрастает, откуда и следует, что при условии (266) величина интеграла (265) равна

Таким образом, в рассматриваемом случае не имеет смысла утверждение, что гармоническая функция дает функционалу (263) наименьшее значение. Можно показать, что если интеграл равен при то он равен и для любой функции из класса D, удовлетворяющей предельному условию Это непосредственно вытекает из следующей теоремы

Теорема. Если интеграл (263) при предельном условии (264) имеет, конечное значение для какой-либо функции из класса D, то

он имеет конечное значение для гармонической функции v из класса D, и при этом для любой функции и из D мы имеем

причем знак равенства достигается только при

Доказательство теоремы совершенно просто, если предположить, что гармоническая функция имеет в В ограниченные частные производные первого порядка. При этом интеграл (263) имеет, очевидно, конечное значение. Нам достаточно доказать, что если для какой-либо функции w из D интеграл имеет конечное значение, то причем знак равенства имеет место только при Мы можем написать: , где имеет внутри В непрерывные частные производные первого порядка, непрерывна в замкнутом круге В и равна нулю на окружности l. Мы имеем

где через мы обозначаем интеграл , взятый по кругу и

Функция имеет внутри В непрерывные частные производные второго порядка, и, применяя формулу Грина, мы получим

где окружность с центром в начале координат и радиусом производная по нормали к этой окружности. Поскольку v есть гармоническая функция, двойной интеграл в правой части равен нулю, а в криволинейном интеграле при стремлении к единице стремится к нулю равномерно по отношению к полярному углу, по условию остается ограниченной, и этот криволинейный интеграл, очевидно, стремится к нулю. Таким образом, формула (269) в пределе дает:

откуда следует, что причем знак равенства имеет мёсто только при , т. е. если А есть постоянная в круге В. Но на и, следовательно, .

Проведем теперь доказательство теоремы в общем случае. Пусть, как и выше, w — та функция из D, для которой интеграл имеет конечное значение, и пусть

— ряд Фурье функции входящей в условие (264). Функция v определяется внутри В рядом

Положим:

и определим функцию равенством: . Эта функция имеет внутри В непрерывные частные производные первого порядка, непрерывна в замкнутом круге, и ее предельные значения на l имеют ряд Фурье:

Это непосредственно вытекает из (272) и того, что предельные значения w имеют ряд Фурье (270). Отсюда следует:

Как и выше, мы имеем

Двойной интеграл равен нулю, а подынтегральная функция в криволинейном интеграле равномерно относительно стремится к

и интеграл от этого произведения равен нулю в силу (272) и (273). Таким образом, при . Переходя в формуле

к пределу, получим

По условию, имеет конечное значение, и из последней формулы видно, что и имеет конечное значение. Для это очевидно в силу (272).

Из (274) следует:

и тем более при любом :

Но в круге ряд (271) можно дифференцировать почленно и полученные ряды равномерно сходятся в т. е. в круге производные от при равномерно стремятся к соответствующим производным от v. Таким образом, неравенство (276) при дает

откуда, при и следует:

Пусть мы имеем знак равенства и докажем, что Положим где как всегда, имеет внутри В непрерывные производные первого порядка, непрерывна в замкнутом круге и равна нулю на окружности I.

Мы имеем

Принимая во внимание, что

мы имеем

откуда следует, что при всех

т.е. остается ограниченным при .

Первые два слагаемых правой части формулы (277) имеют конечный предел при и, следовательно, величина остается ограниченной, т. е. имеет конечный предел при . Мы можем далее написать:

и из существования конечных пределов для следует, что и имеет конечный предел при . Обозначим

Вводя произвольный вещественный параметр , мы можем написать:

При все слагаемые правой части имеют конечный предел и, следовательно, то же имеет место и для левой части. Переходя к пределу, получим

Таким образом, при любом вещественном интеграл Дирихле имеет конечное значение для функции и в силу доказанного выше имеем

причем знак равенства достигается при ибо по условию . Отсюда следует, что правая часть (278) достигает наименьшего значения при что возможно лишь в том случае, если и из следует, что w — v. Теорема полностью доказана.

В главе о предельных задачах мы вернемся к вопросу об абсолютном экстремуме для изопериметрических задач [77].