85. Общая форма первой вариации.

До сих пор при определении первой вариации мы предполагали, что промежуток или область интегрирования не меняются. Сейчас мы введем выражение первой вариации, не делая этого предположения. Это даст нам возможность рассмотреть основную задачу вариационного исчисления в общем случае подвижных концов. Будем сначала рассматривать простейший из интегралов, а именно интеграл (117). Раньше мы считали, что близкие кривые отличаются от основной кривой добавлением слагаемого Сейчас мы будем считать, что близкие кривые содержат параметр а любым образом, причем при получается основная кривая для которой мы и вычисляем вариацию интеграла. Итак, рассмотрим интеграл

и введем в этот интеграл измененную близкую кривую, считая, что и пределы интегрирования зависят от а:

причем при мы имеем функцию и пределы, входящие в интеграл (127):

В соответствии с общим определением вариации как произведения производной по а при на а, можно написать

причем мы считаем, что имеет непрерывные производные до второго порядка. Беря от интеграла (128) производную по а, полагая в ней а = 0 и умножая на а, получим следующее выражение первой вариации интеграла:

ИЛИ

Преобразуем, как всегда, второе слагаемое, интегрируя по частям:

где суть граничные значения вариации функции у:

Найдем теперь первую вариацию ординат концов кривой, причем мы проведем все вычисления лишь для ординаты правого конца. Очевидно, что

и при изменении а будут меняться оба аргумента функции у, а не только второй, как это мы имели при определении так что первая вариация ординаты будет:

где — угловой коэффициент касательной на правом конце кривой. Аналогично для вариации ординаты левого конца кривой будем иметь

Подстановка в (130) вместо их значений из уравнений (132) и (133) даст нам следующее окончательное

выражение для первой вариации интеграла (127):

или

Правая часть написанного равенства линейна относильно и и она сохранит свой смысл и для того случая, когда близкие кривые зависят от нескольких параметров, причем под первой вариацией надо понимать в этом случае первый полный дифференциал по упомянутым параметрам, вычисленный для исходных значений этих параметров, т. е.

если рассматриваемая кривая получается из семейства, зависящего от параметров при .

Вычисления, совершенно аналогичные предыдущим, в случае интеграла, зависящего от неизвестных функций

приводят к следующей формуле для первой вариации:

или

где - вариация координат концов кривой.

Выясним геометрически разницу между величинами входящими в формулу (132). Координаты правого конца кривых сравнения будут: . При изменении а правый конец опишет некоторую линию . Начальным значением а является значение так что сама величина а является приращением этого параметра от начального значения

Рис. 2.

Согласно есть дифференциал функции по отношению к переменной а, т. е. есть главная часть приращения ординаты правого конца. На рис. 2 это приращение изображается отрезком CD. Согласно (131) (бесть дифференциал функции причем в первом аргументе мы полагаем до вычисления дифференциала. Таким образом, есть главная часть приращения ординаты на конце при переходе с основной кривой на кривую сравнения . На рис. 2 это приращение изображается отрезком АВ.