5. Итерированные ядра.

Мы будем в дальнейшем часто иметь дело с интегральными операторами вида:

Для краткости часто пишут: Как мы упоминали выше, этот оператор линеен:

где постоянные.

Пусть имеются два интегральных оператора с непрерывными ядрами:

Обозначнм их символами К и L и пусть или просто оператор, который получается путем последовательного применения к сначала оператора а затем оператора L, и определим ядро этого оператора:

Таким образом, ядро оператора определяется формулой

Отметим, что ядро оператора определяется формулой

и вообще говоря, отлично от (s, t), т. е. оператор , вообще говоря, отличен от Если оператор совпадает с то говорят, что эти операторы коммутируют.

Введем итерированные ядра, соответствующие целым положительным степеням оператора причем основное ядро обозначим для симметрии дальнейшего через

Ядро есть ядро оператора . В частности,

и вообще,

Порядок квадратур здесь безразличен. Имеет место, очевидно, формула

Для образования надо выполнить квадратур, для квадратур, и еще квадратуру по . Введем следующее обозначение:

причем (считается, очевидно, что Приводя к последовательным квадратурам и обозначая для краткости

получим

Будем последовательно определять и оценивать повторные ядра, пользуясь (35) и неравенством Буняковского [II; 161]:

откуда

Далее

откуда

и, вообще,

Рассмотрим ряд

При сделанном предположении непрерывности положительные функции непрерывны и тем самым ограничены в т. е. существует такое положительное число . Таким образом,

и, следовательно, ряд, составленный из модулей членов ряда (39), сходится равномерно по s и t в при

т. е. ряд (39) сходится абсолютно и равномерно при условии (41). Вообще, если модули членов некоторого ряда образуют равномерно сходящийся ряд, то говорят, что первоначальный ряд сходится регулярно. Из регулярной сходимости следует абсолютная и равномерная сходимость ряда (39).

Через мы обозначили сумму ряда (39), и эту функцию будем называть резольвентой ядра (s, t) или интегрального уравнения. Она непрерывна в при условии (41).

Применим теперь к уравнению

содержащему комплексный параметр X, метод последовательных приближений, отыскивая его решение в виде

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Я. Если члены ряда (43) — непрерывные функции в и ряд равномерно сходится, то его сумма есть решение уравнения (42). Применяя указанный выше прием, получим

и, вообще,

Выразим теперь непосредственно через

и, вообще,

Сумма (43) имеет, следовательно, вид

Принимая во внимание равномерную сходимость ряда (39) при условии (41), можем утверждать, что написанная формула дает непрерывное решение уравнения (42). Формулу эту можно переписать в виде