115. Классы функций ...

Мы рассмотрим сейчас некоторые классы функций, имеющих обобщенные производные. Подробное изложение теории этих и более общих классов, а также их применений имеется в монографии С. Л. Соболева «Некоторые применения функционального анализа в математической физике», и в томе V.

Класс есть множество всех функций из имеющих все обобщенные производные первого порядка тоже из Этот класс линеен, т. е. если то и

где произвольные постоянные. Элементы этого класса определены, очевидно, с точностью до эквивалентности. Введем в этом классе скалярное произведение

где обобщенные производные. Ему соответствует норма

Легко проверить, что они обладают всеми необходимыми свойствами:

для . Отсюда следует два важных неравенства: неравенство Коши — Буняковского

и неравенство треугольника

Естественно вводится сходимость в . Это означает: и при если

Ясно, что это равносильно сходимости в функций и их обобщенных производных первого порядка, т. е.

Из неравенства треугольника для нормы следует, как и в непрерывность нормы, т. е. из следует Докажем теперь теорему.

Теорема. Класс является полным гильбертовым пространством.

Нам надо проверить лишь полноту. Это значит, что если

то существует такой элемент и что

Действительно, условие (29) можно переписать в виде

В силу полноты существуют такие функции и, из что

Но из свойства замкнутости обобщенного дифференцирования следует, что

Вместе с (31) это приводит к (28), что равносильно требуемому соотношению (30).

Отметим, что предел как и в может быть только один [II; 162].

Гильбертово пространство определяется как подпространство получаемое замыканием в норме множества всех функций Иначе говоря, принадлежность означает, что существует последовательность такая, что при .

Скалярное произведение и норма в задаются теми же равенствами (25) и (26), что и для

Пусть и . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

В самом деле, если и то формула ) справедлива по определению обобщенной производной. Записывая ее для функций стремящихся к и в норме класса и переходя к пределу при получаем формулу .

Если обе функции и принадлежат лишь классу то в формулу интегрирования по частям, как обычно, входит некоторый интеграл по границе области (см. формулу (12) в [113]). Для того чтобы распространить эту формулу на случай функций из (20), необходимо определить значения функции на границе области. Эта задача нетривиальна, так как функции класса определяются лишь с точностью до эквивалентности, т. е. их значения на множествах -мерной лебеговой меры нуль не определены. Указанные вопросы будут рассмотрены в томе V.

Для функций класса выполняется неравенство

где постоянная с зависит от области но не зависит от функции . Это так называемое неравенство Пуанкаре — Фридрихса.

Пусть сначала . Заключим в куб , содержащий (замыкание ). Не ограничивая общности, будем считать, что куб определяется неравенством . Продолжим и нулем на Тогда и . Запишем для и представление

и оценим последний интеграл по неравенству Буняковского:

Интегрируя по переменным от 0 до а, получим

Наконец, последнее неравенство проинтегрируем по от 0 до а.

В полученном неравенстве интегрирование фактически ведется лишь по области . Из него следует (32) при Таким образом, (32) получено для любых

Пусть теперь последовательность функций, удовлетворяющая условию (27). Запишем (32) для функций в такой форме:

Теперь, пользуясь непрерывностью нормы в и соотношениями (28), перейдем здесь к пределу при

Это и есть неравенство (32). Отметим еще, что из (32) вытекает неравенство

В противоположность тому, как это было при замыкании по норме пространства класс не плотен в является только подмножеством класса Покажем, что это подмножество замкнуто, т. е., если

то . Пусть задано . Из написанного выше следует, что существует такое что . Для из

класса по определению этого класса, существует такое что Но тогда по неравенству треугольника откуда в силу произвольности и определения класса следует, что и

Класс естественно интерпретировать как множество тех функций из которые обращаются, в некотором обобщенном смысле, в нуль на границе . Мы не имеем возможности обсуждать здесь этот вопрос подробно. В томе V мы будем говорить о нем в связи с так называемыми теоремами вложения для указанных, а также более общих, пространств С. Л. Соболева. Сформулируем здесь только один результат и для наглядности рассмотрим случай трехмерного пространства . Пусть поверхность S, ограничивающая S, принадлежит классу уточним это понятие. В каждой точке S имеется касательная плоскость. Существует такое что если N — любая точка S, то всякая сфера с центром N и радиусом d разделит S на две части, из которых одна заключается внутри и другая вне сферы, и прямые параллельные нормали в точке N пересекают часть S, находящуюся внутри сферы, в одной точке. Выбирая нормаль за ось мы можем написать уравнение этой части S в виде . При этом предполагается, что имеет непрерывные частные производные до порядка I включительно.

Пусть некоторая функция и непрерывна со своими частными производными первого порядка в замкнутой области и . Очевидно, что и При всем этом и тогда и только тогда, когда и обращается в нуль на

Перейдем теперь к классу . Он определяется как множество тех функций из которые имеют всевозможные обобщенные производные первого и второго порядков, также принадлежащие к . Мы можем ввести в скалярное произведение, определяемое формулой

и соответствующую ему норму

С ее помощью вводится сходимость в классе которая равносильна одновременной сходимости в самих функций и всех производных первого и второго порядков. Как и для можно показать, что класс является полным гильбертовым пространством.