51. Преобразование Лапласа.

Дальше мы займемся уравнениями Вольтерра в том специальном случае, когда ядро зависит только от разности . Предварительно мы изучим одно интегральное преобразование, близко связанное с преобразованием Фурье, а именно, так называемое преобразование Лапласа.

Напомним, что если функция определенная на промежутке непрерывна, удовлетворяет условиям Дирихле на всяком конечном промежутке и существует интеграл

то преобразованием Фурье функции называется функция

и имеет место следующая формула обращения [II; 173]:

равносильная формуле Фурье, причем последний интеграл надо понимать как интеграл в смысле главного значения, т. е.

Положим, что не только интеграл (316), но и интеграл

имеет конечное значение при При этом функция определяется формулой (317) не только при вещественных, но и при комплексных удовлетворяющих условию ибо

и по условию этот интеграл имеет смысл при В преобразовании Лапласа величина а заменяется чисто мнимой величиной и, кроме того, что не существенно, откидывается множитель

Мы переходим к подробному исследованию преобразования Лапласа. Совершенно аналогичное исследование можно было бы провести и для преобразования Фурье (317).

Положим, что функция в промежутке непрерывна, кроме точек разрыва непрерывности первого рода, причем число этих точек конечно во всякой ограниченной части упомянутого промежутка. Пусть, далее, эта функция имеет в каждой точке производную или же производные справа и слева, причем в точках разрыва под производными справа и слева мы подразумеваем пределы отношений:

Положим, кроме того, что интеграл

абсолютно сходится, если а удовлетворяет неравенству

где — некоторые фиксированные вещественные числа, которые могут быть равны и или При этом к функции применимы обычное предельное равенство для интеграла Дирихле и формула Фурье

Рассмотрим функцию комплексного переменного определяемую равенством

На плоскости комплексного переменного неравенство (321) определяет полосу, параллельную мнимой оси, или полуплоскость (если одно из чисел а или равно бесконечности), или даже всю плоскость. Пусть — некоторая конечная замкнутая область, лежащая внутри полосы (321). Мы можем взять внутри (321) точку лежащую левее области В, т. е. такую, что для всех точек принадлежащих В, имеет место неравенство и точку лежащую правее В. Таким образом, для всех точек s из В и при всех вещественных мы имеем неравенства

Но, по условию, функции, стоящие в правой части написанных неравенств, интегрируемы по промежуткам Отсюда следует, что интеграл (322) в области В сходится абсолютно и равномерно относительно s и, следовательно, функция является регулярной функцией в области , так что, ввиду произвольности выбора В, функция регулярна внутри полосы (321).

Докажем сейчас теорему, которая даст нам выражение первоначальной функции через преобразованную функцию Вообще, формула (322) представляет собой функциональное преобразование функции с указанными выше свойствами, причем в результате преобразования получается функция комплексного переменного регулярная в упомянутой полосе.

Теорема 1. При сделанных относительно предположениях имеет место формула обращения:

в которой интеграл берется по любой прямой, лежащей внутри полосы (321), причем интеграл надо понимать в смысле главного значения.

Произведение удовлетворяет указанным выше для условиям, и, в частности, интеграл (320) абсолютно сходится, а потому к функции применима формула Фурье:

Вводя вместо а новую переменную интегрирования , получим (323).

Функция , определяемая внутри полосы (321) формулой (322), ведет себя определенным образом при удалении точки s на бесконечность вверх или вниз внутри указанной полосы, а именно, пользуясь абсолютной сходимостью интеграла, нетрудно показать, что в любой полосе определяемой неравенством , где — заданное положительное число, функция стремится к нулю при удалении точки на бесконечность. Мы можем, наоборот, задавать не , а функцию удовлетворяющую некоторым условиям внутри полосы (321), и при этом строить по формуле (323). Уточним наши предположения относительно f(s). Мы предполагаем, что регулярна внутри (321). Пусть, далее, для всякой полосы существует функция , определенная при принимающая лишь положительные

значения, удовлетворяющая условию при имеющая сходящийся интеграл:

и такая, что в имеет место неравенство:

Докажем теперь теорему, аналогичную теореме 1.

Теорема 2. При сделанных предположениях формула (323) дает функцию определенную на всей вещественной оси, непрерывную и не зависящую от выбора а. При этом первоначальная функция определяется через преобразованную функцию по формуле (322), причем интеграл надо понимать в смысле главного значения.

Рис. 1

Полагая в правой части получим

При любом выборе модуль подынтегральной функции не превышает функции , имеющей сходящийся интеграл, и, следовательно, интеграл в (325) сходится абсолютно и равномерно относительно .

Таким образом, мы видим, что определена при любом вещественном и является непрерывной функцией [II; 84].

Докажем теперь, что эта функция не зависит от выбора . Рассмотрим внутри полосы (321) какой-нибудь прямоугольник ABCD, ограниченный прямыми . В силу теоремы Коши интеграл от по контуру этого прямоугольника равен нулю. Рассмотрим величину этого интеграла по сторонам параллельным вещественной оси. Например, для стороны будем иметь интеграл

В силу (324) имеем для этого интеграла оценку:

где k = 1 или 2. Отсюда, в силу того, что при видно, что интеграл (326) стремится к нулю при . Аналогичный

результат получится и для интеграла по стороне . Применяя упомянутою выше теорему Коши, можем утверждать, что интеграл от функции по прямой сверху вниз отличается лишь знаком от интеграла по прямой взятого снизу вверх, или оба эти интеграла равны один другому, если оба брать снизу вверх. Ввиду произвольности в выборе прямых можем утверждать, что интеграл от функции по прямой имеет одно и то же значение при любом выборе прямой внутри полосы, т. е. при любом выборе лишь бы оно удовлетворяло неравенству

Остается еще доказать, что выражается через по формуле (322). Полагая в формуле будем иметь

Умножим обе части на и проинтегрируем по от до Принимая во внимание, что к функции как функции вещественного переменного применима формула Фурье:

мы получим

а это и дает нам формулу (322), ввиду произвольности величины и. Формулы (322) и (323) являются обращением одна другой, в том смысле, как это указано в теоремах 1 и 2.

Покажем, что если в теореме т. е. если заданная функция регулярна в полуплоскости и удовлетворяет в ней остальным условиям, то функция определяемая формулой (323), обращается в нуль при Заметим, что в данном случае, в частности, по условию, должна существовать при любом положительном в полуплоскости функция с указанными выше свойствами. Итак, докажем, что при Применяя к интегралу обычную оценку и неравенство (324), мы полечим

Если фиксированное отрицательное число, то при правая часть стремится к нулю, а левая не зависит от выбора

и, следовательно, действительно при . В данном случае формула обращения преобразования (323) будет иметь вместо (322) следующий вид

Если считать, наоборот, заданной, то преобразование (322) называется обычно двусторонним преобразованием Лапласа, а преобразование (327) — односторонним преобразованием Лапласа. Это последнее преобразование является, очевидно, частным случаем первого и получается из него, если заданная функция равна нулю при отрицательных значениях . В случае одностороннего преобразования Лапласа мы должны наложить на условие, что интеграл (327) абсолютно сходится в нексторой полуплоскости . Если В — некоторая конечная замкнутая область, лежащая внутри этой полуплоскости, то мы можем взять прямую лежащую внутри упомянутой полуплоскости слева от В. По условию, интегра

сходится и, принимая во внимание, что переменная интегрирования мы имеем для s, принадлежащих В,

т. е. интеграл (327) сходится абсолютно и равномерно относительно s для всех s, принадлежащих В, и дает функцию регулярную в В, т. е. регулярную в полуплоскости

Из приведенных оценок вытекает непосредственно и следующее утверждение: если интеграл (327) сводится абсолютно в точке , то он сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости . Заметим, что сформулированные выше теоремы можно доказать и при более общих предположениях относительно . Очень часто правые части формул (327) и (312) обозначают через

Преобразования линейны, т. е.

где произвольные постоянные и функции, удовлетворяющие указанным выше условиям. Если вместо переменной

ввести новую переменную и положить то преобразования (312) и (313) запишутся в виде

Если бы мы провели соответствующие рассуждения для преобразования Фурье (317), то вместо вертикальной полосы, в которой регулярная функция, мы получили бы горизонтальную полосу регулярности (полосу, параллельную вещественной оси) для . В остальном результаты сохраняются с точностью до постоянного множителя перед интегралом.