42. Классификация симметричных ядер.

Выше мы определили собственные значения и соответствующие собственные функции из задач о максимуме величины . В явном виде через ядро мы имеем:

Пусть коэффициенты Фурье относительно собственных функций ядра Применяя к внутреннему интегралу теорему Гильберта — Шмидта, умножая полученный ряд на и почленно интегрируя, получим

Положим, что все . При этом

и соответствующее ядро называется положительным. Знак равенства может получиться, если существует такое для которого все равны нулю. Если же ортонормированная система замкнута, то этого не может быть, и Такое ядро называется определенно положительным. Аналогично определяют отрицательные и определенно отрицательные ядра.

Если положить в формуле (268) имеем и остальные . Отсюда следует, что если разных знаков, то и величина J может принимать значения разных знаков.

Собственные функции получались из условия максимума J при тех же условиях, что норма равна единице (см. [36]). В дальнейшем нам нужна будет другая постановка экстремальных задач, а именно, мы требуем, чтобы была нормирована не сама функция (s), а ее преобразование через ядро:

Внутренний интеграл разлагается согласно теореме Гильберта — Шмидта в равномерно сходящийся ряд или ряд, сходящийся в среднем (для ядер из ), и условие (270) согласно уравнению замкнутости можно записать в виде

Будем считать ядро положительным и перепишем формулу (269) в вйде

Заменяя его наименьшим значением, получим согласно (271)

Если мы положим то при так что условие (271) соблюдено, и в формуле (272) мы имеем знак равенства. Таким образом, первое характеристическое значение есть наименьшее значение интеграла (267) при условии (270). Это наименьшее значение достигается, если положить Совершенно так же, как и выше, мы можем показать что

характеристическое значение есть наименьшее значение интеграла (267), если функция удовлетворяет следующим условиям:

и это наименьшее значение достигается, если положить

Нетрудно видеть, что приведенный экстремальный принцип получения характеристических значений и собственных функций применим не только к положительному ядру, но и ко всякому ядру, которое имеет конечное число отрицательных характеристических значений, т. е. для которого характеристические значения могут быть расположены в неубывающем порядке, начиная с первого. Заметим, что если, например, то интеграл (267) будет достигать наименьшего значения при условии и для и для и . Для а также для любой линейной комбинации коэффициенты которой удовлетворяют условию

Аналогичное замечание имеет место и для указанной выше первой экстремальной задачи.