62. Преобразование Фурье в L1.

Мы рассматривали преобразование Фурье [II; 173] и родственное ему преобразование Лапласа, используя интегралы Римана. Сейчас мы кратко рассмотрим преобразование Фурье в интегралах Лебега.

Положим, что суммируема на промежутке или, иначе говоря, принадлежит на этом промежутке классу . Введем следующее обозначение:

Так как при вещественных а и то при любом а из промежутка существует интеграл

Функцию называют преобразованием Фурье функции иногда (см., например, ниже [65]) множитель удобно отбрасывать.

Выясним некоторые свойства преобразований Фурье для функций из

1° — ограниченная функция в самом деле, это вытекает из очевидного неравенства

2°. Если последовательность функций из стремящаяся к некоторой предельной функции из в метрике т. е.

то последовательность преобразований Фурье стремится к равномерно на всей оси.

Это свойство непосредственно вытекает из неравенства

Легко видеть, что если последовательность сходится в метрике к двум функциям то последние функции эквивалентны (единственноеть предела в ).

3°. Преобразование Фурье функции из есть равномерно непрерывная на всей оси функция.

Из формулы

получаем неравенство

Теперь при любом сначала надо фиксировать R так, чтобы сумма первых двух интегралов в правой части была меньше а затем выбрать таким, чтобы при и третье слагаемое было меньше . Тогда при и при любом а будет , что и требовалось доказать.

Рассмотрим свертку двух функций из L1 (ср. [52]):

Функция также принадлежит классу , так как по теореме Фубини

т. е.

Вычислим, снова пользуясь теоремой Фубини, преобразование Фурье функции

или

Таким образом мы доказали следующее свойство преобразований Фурье.

4°. Преобразование Фурье свертки равно произведению преобразований Фурье этих функций, умноженному на

Пусть функция определена на всей оси, имеет производные всех порядков и обращается в нуль вне некоторого промежутка. Такие функции принято называть финитными. Класс всех финитных функций обозначают через . Ясно, что содержится в . Важное свойство класса дается следующей теоремой, которая будет доказана в [112].

Теорема 1. Для всякой функции из класса l по любому найдется такая финитная функция что

Отсюда легко выводится, что для всякой функции из найдется последовательность финитных функций сходящаяся к в метрике Указанное свойство характеризуют, говоря, что класс плотен в классе

Сформулированная теорема используется при доказательстве некоторых важных свойств преобразования Фурье в .

5°. Если принадлежит то при Для доказательства фиксируем и найдем такую финитную функцию для которой выполнено (419). Пусть - преобразование Фурье от Согласно (417)

Для функции с помощью интегрирования по частям получаем

Интегрирование здесь фактически ведется по конечному промежутку, вне которого внеинтегральные члены, очевидно, пропадают. Из (421) вытекает, что при . Следовательно, для достаточно больших будет

Отсюда и из (420) находим, что для таких имеет место . Тем самым что и требовалось доказать.

Сложнее доказывайтся следующее свойство.

6° Если для некоторой функции из то функция эквивалентна нулю. Докажем сначала, что

интеграл от по любому конечному промежутку равен нулю:

С этой целью рассмотрим вспомогательную непрерывную функцию построенную следующим образом. Пусть фиксированные числа, и пусть при при в промежутках функция линейна. Легко вычислить преобразование Фурье функции :

Из этой формулы видно, что — функция из . Кроме того, так как функция удовлетворяет условиям Дирихле то она выражается через по формуле обращения

Покажем теперь, что свертка функции данной в условии, с функцией равна нулю тождественно на По теореме Фубини имеем:

т. e., действительно,

Подставляя вместо функции ее значение, можно представить последний результат в виде

При находим отсюда, что

при любых из . При это приводит к требуемому равенству (422).

Из (422) уже без труда получается, что эквивалентна нулю. Пусть - финитная функция, такая, что Пусть тот промежуток на числовой оси, вне которого Разобьем его на произвольное конечное число частей точками Обозначим через ту точку на промежутке в которой непрерывная функция принимает свое среднее значение на этом промежутке, т. е.

Пользуясь (422), находим

При измельчении промежутка сумма, стоящая в левой части этого соотношения, стремится к интегралу . Таким образом, мы доказали, что

Эта оценка показывает, что в метрике . Но так как одновременно то эквивалентна нулю, что и требовалось доказать.

В заключение без доказательства приведены еще некоторые свойства преобразования Фурье в

Пусть функция из преобразование Фурье. Тогда для почти всех в частности, в каждой точке непрерывности справедлива формула

Доказательство этой формулы имеется, например, в книге Титчмарша «Введение в теорию интеграла Фурье». Необходимость

мость в такой усложненной формуле обращения вызвана тем, что, хотя функция и стремится к нулю при (свойство 5°), но не обязательно принадлежит классу . Если принадлежит , то справедлива обычная формула обращения

Заметим, что из формулы обращения (423) свойство 6° преобразований Фурье вытекает непосредственно. Однако вывод формулы (423) довольно сложен, и мы дали поэтому независимое доказательство свойства 6°.

8°(теорема Винера). Пусть функция , определенная при , допускает представление в виде

где из и пусть при всех а и тем самым . Тогда функция также допускает представление в виде

где - функция из

Доказательства этой теоремы мы не приводим.