47. Примеры.

1. Рассмотрим ядро из [1], причем для простоты письма положим т. е.

В данном случае мы можем найти в конечном виде все характеристические значения и собственные функции. В однородном интегральном уравнении

нам надо при интегрировании от до , т. е. при пользоваться вторым из выражений (297), а при интегрировании от до — первым из указанных выражений, т. е. уравнение переписывается в виде

Дифференцируем обе части по

Внеинтегральные члены сокращаются, и, дифференцируя еще раз по s, получим

Ядро (297) удовлетворяет, очевидно, условию и формула (298) дает т. е. мы можем брать только те решения уравнения (299), которые удовлетворяют предельным условиям Уравнение (299) интегрируется в элементарных функциях и, как мы знаем [II; 180], поставленная для него предельная задача может иметь решения, отличные от нуля, только при и эти решения будут

Непосредственной подстановкой в уравнение (298) нетрудно убедиться, что упомянутые числа и функции будут действительно характеристическими значениями и собственными функциями уравнения (298) В этом, впрочем, можно убедиться, замечая, что при наличии упомянутых предельных условий, мы не вводили посторонних решений, производя указанные выше операции дифференцирования обеих частей уравнения. Мы уже имели полученные характеристические значения и собственные функции при рассмотрении задачи колебания струны, закрепленной на концах [II; 180] Эгот факт стоит в непосредственной связи с тем, что ядро (297), как мы показали в [1], дает статический прогиб

струны при наличии сосредоточенной силы. В дальнейшем мы разовьем эту идею для широкого класса задач математической физики. Для рассматриваемого примера ряд (201) будет равномерно сходящимся, и мы имеем следующую формулу:

Положим, что некоторая функция имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет предельным условиям Мы имеем для такой функции представление через ядро, а именно:

что легко проверить, производя интегрирование по частям, и что вытекает также из того, что было сказано в m относительно определения прогиба при непрерывно распределенной нагрузке, которую в данном случае надо считать равной Теорема 2 показывает нам, таким образом, что всякая функция удовлетворяющая указанным выше условиям, может быть разложена в промежутке [0, 1] в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по функциям . В дальнейшем мы увидим, что можно значительно облегчить условия, налагаемые на функцию Заметим, что формула (300) также представляет собой разложение ее правой части в ряд Фурье.

Этот ряд можно рассматривать или как ряд Фурье правой части как функции от s (t — параметр) по функциям или как ряд Фурье правой части как функции, определенной в квадрате по функциям образующим ортогональную нормированную систему в упомянутом квадрате. Аналогично предыдущему, можно рассмотреть ядра вида

(см. И. И. Привалов, Интегральные уравнения, 1935 г., стр. 102).

2. Рассмотрим ядро которое представляет собой функцию от разности

где непрерывная четная функция, имеющая период . В силу четности функции со такое ядро будет симметричным ядром. Введем в рассмотрение коэффициенты Фурье функции :

при этом в силу четности

Рассмотрим теперь интегралы

Совершая замену переменных и пользуясь четностью , получим

или, принимая во внимание, что длина пути интегрирования равна будем иметь окончательно:

Точно так же получим

Рассмотрим однородное интегральное уравнение:

Если все коэффициенты Фурье функции отличны от нуля, то из предыдущих вычислений следует, что это уравнение имеет характеристические значения:

которым соответствует следующая система ортогональных и нормированных собственных функций;

Никаких других собственных функций наше ядро не может иметь, поскольку указанные функции образуют замкнутую систему [II; 155]. Характеристическому значению при отвечают две собственные функции. Если, например, а остальные отличны от нуля, то из системы собственных функций отпадут две собственные функции: и ядро перестанет быть полным.

При любых предположениях относительно коэффициентов ряд (201) будет в данном случае иметь такой вид:

т. e. это будет ряд Фурье функции . В общем случае мы не можем утверждать, что он сходится. Но если коэффициенты Фурье удовлетворяют условию , то из теоремы Мерсера непосредственно вытекает, что ряд сходится абсолютно и разномерно и дает . То же самое заключение будет иметь место, если среди коэффициентов будет лишь конечное число положительных или отрицательных.