15. Компактные множества непрерывных функций.

Существенным моментом теории интегральных уравнений является понятие компактности бесконечного множества функций. Мы займемся сейчас этим понятием для множества непрерывных функций. В томе V мы систематически исследуем это понятие для других классов функций и с более общих точек зрения. Предварительно напомним некоторые факты, изложенные в [II; 92, 93]. Если есть бесконечное множество вещественных или комплексных чисел, модуль которых ограничен одним и тем же числом т. е. для всех чисел из имеет место неравенство то из всякой бесконечной последовательности чисел из можно выделить подпоследовательность имеющую предел.

Все рациональные числа, принадлежащие какому-либо промежутку можно расположить в виде последовательности (не монотонной) [II; 93]

Всякое множество чисел или каких-либо объектов, члены которого можно расположить в виде последовательности, пронумерованной целыми положительными числами, называется счетным множеством. Отметим еще, что рациональные числа расположены на промежутке всюду плотно, т. е. любой сколь угодно

малый фиксированный промежуток , входящий в содержит бесконечное множество рациональных чисел. Таким образом, рациональные числа, расположенные на промежутке образуют счетное всюду плотное множество. Совершенно аналогично точки с рациональными координатами, расположенные в какой-либо области (конечной или бесконечной) плоскости, трехмерного или -мерного пространства, образуют счетное всюду плотное множество. Перейдем теперь к рассмотрению бесконечных множеств непрерывных на конечном промежутке функций.

Определение 1. Бесконечное множество непрерывных на конечном промежутке функций называется компактным, если из любой бесконечной последовательности функций принадлежащих можно выделить подпоследовательность равномерно стремящуюся к предельной функции на

Для компактности множества непрерывных функций одной ограниченности функций недостаточно. Определим некоторое свойство множества непрерывных функций которое играет существенную роль для компактности. Известно, что любая непрерывная в функция обладает свойством равномерной непрерывности: при любом заданном существует такое , что

При заданном число может быть различным для различных и, если состоит из бесчисленного множества различных непрерывных функций, то при заданном числа при котором для всех из выполняется (100), может и не быть.

Определение 2. Говорят, что множество состоит из равностепенно непрерывных функций, если при любом заданном существует число одно и то же для всех функций из такое, что выполнено (100).

Сформулируем теперь основную теорему, дающую достаточное условие компактности (теорема Арцела).

Теорема. Если есть множество функций равностепенно непрерывных в и ограниченных по модулю одним и тем же числом L, т. е. для всех из то множество компактно.

Предварительно докажем одну лемму.

Лемма. Если некотороя бесконечная последовательность функций, заданных в и ограниченных по модулю одним и тем же числом L, то, каково бы ни было счетное множество точек из можно из последовательности выделить подпоследовательность, которая сходится во всех этих точках.

По условию леммы при и можно из последовательности чисел выделить сходящуюся

подпоследовательность, т. е. из последовательности функций можно выделить подпоследовательность

которая сходится в точке Если для функций (I) положить то получим числа модули которых также не превосходят L. Поэтому последовательности функций (I) можно выделить такую подпоследовательность

которая сходится не только в точке поскольку она выделена из последовательности (I), сходящейся при но и в точке Подставляя заметим, что все числа по модулю меньше или равны L, и из последовательности (II) мы можем выделить новую подпоследовательность

которая будет сходиться в точках Продолжая это построение дальше, получим вообще последовательности

которые сходятся в точках Образуем теперь новую последовательность, взяв из последовательности (I) первую функцию, из последовательности (II) вторую функцию, из последовательности (III) третью функцию и т. д.:

Покажем, что эта подпоследовательность уже сходится в любой точке . Действительно, возьмем некоторую точку

Все функции последовательности начиная с номера т. е. все функции

согласно указанному выше построению образуют часть последовательности при и, следовательно, при подстановке в эту последовательность значения мы получим сходящуюся последовательность чисел, т. е. последовательность функций сходится в точке То же самое можно утверждать и относительно последовательности что и доказывает лемму.

Перейдем теперь к доказательству основной теоремы. Пусть имеется некоторая последовательность функций из Применяя доказанную лемму, можно утверждать, что из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, которая стремится к пределу во всех точках некоторого счетного множества

точек всюду плотного в Это может быть, например, последовательность всех точек из имеющих рациональные значения.

Пусть

та выделенная подпоследовательность, сходящаяся во всех точках . Покажем, что она сходится равномерно во всем промежутке . Составим разность и представим ее в виде

где одна из точек упомянутого выше множества, всюду плотного на Пусть — какое-либо заданное положительное число — соответствующее ему число, входящее в определение равностепенной непрерывности. Возьмем конечное множество , состоящее из точек и такое, что точки этого конечного множества разбивают промежуток на частичные промежутки, длина каждого из которых . Это, очевидно, возможно, так как множество всех точек всюду плотно на . В каждой точке конечного множества точек последовательность имеет предел. Поэтому существует такое число N, что

если одна из точек упомянутого выше конечного множества . Будем считать, что точка входящая в формулу , есть одна из точек конечного множества , и напишем неравенство

непосредственно следующее из . При любом положении на мы можем указать такое принадлежащее , что при любом . Это будет одним из концов того частичного промежутка, которому принадлежит Кроме того, при мы имеем неравенство для любых принадлежащих Таким образом, в силу мы можем утверждать следующее: при любом заданном положительном существует такое не зависящее от что при и любом из а это и показывает, что последовательность равномерно сходится на всем промежутке и тем самым теорема доказана.

Доказательство годится, очевидно, как для вещественных, так и для комплексных функций. Если нам известно, что последовательность равностепенно непрерывных функций сходится во всякой точке промежутка или в точках некоторого множества, всюду плотного в то отпадает необходимость

в выделении подпоследовательности, сходящейся во всех точках и можно утверждать следующее:

Теорема 2. Если последовательность функций, равностепенно непрерывных на промежутке уходится во всех точках этого промежутка (или даже только в точках некоторого множества, всюду плотного в то эта последовательность сходится равномерно на

Доказательство теорем буквально переносится и на случай множества функций определенных в некоторой замкнутой области В в -мерном пространстве или на поверхности. Равностепенная непрерывность здесь, очевидно, определяется так: при любом заданном положительном существует такое положительное число , одно и то же для всех функций из если принадлежат В и расстояние

Выше было доказано, что ограниченность всех функций множества по модулю одним числом и равностепенная непрерывность суть достаточные условия компактности . Можно показать, что это и необходимые условия (см. т. V).

Пусть имеется интегральный оператор с непрерывным ядром

Мы знаем, что он преобразует непрерывные функции и в непрерывные Пусть есть некоторое бесконечное множество ограниченных функций: . Ядро в силу непрерывности в также ограничено: , и, следовательно,

т. е. множество функций ограничено. Имеет место неравенство

В силу непрерывности ядра при заданном существует такое не зависящее от , что

Из двух последних неравенств следует, что

Определение. Оператор называется вполне непрерывным из С в С, если он преобразует всякое ограниченное множество

непрерывных функций и в компактное множество непрерывных в функций.

Таким образом, нами доказано, что функции ограничены и равностепенно непрерывны, а следовательно, и образуют компактное множество и интегральный оператор (101) вполне непрерывен. То же доказательство годится и для регулярного ядра.