72. Уравнение Эйлера в простейшем случае.

Рассмотрим простейший функционал

где F — заданная функция всех трех аргументов. Мы будем считать ее непрерывной вместе с производными второго порядка в некоторой области В плоскости и при любых значениях аргумента у. Функционал J получит определенное численное значение, если мы фиксируем функцию или, что то же, кривую которую всегда считаем лежащей внутри В.

Положим, что значения функции на концах промежутка интегрирования заданы:

Будем считать, что искомая функция имеет непрерывную производную. Такой класс функций, имеющих в промежутке непрерывную производную, назовем классом (соответственно этому класс функций, имеющих непрерывных производных, будет обозначаться ), и в дальнейшем будем считать, что все функции, о которых мы будем говорить, принадлежат этому классу. Назовем -окрестностью кривой всевозможные кривые которые во всем промежутке удовлетворяют неравенству . Иногда, кроме этого неравенства, добавляют еще одно: , т. е. требуют -близости не только по ординате, но и по угловому коэффициенту касательной. В первом случае иногда говорят об -близости нулевого порядка, а во втором случае, при наличии двух неравенств, говорят об -близости первого порядка.

Определение. Говорят, что функционал J достигает относительного экстремума для кривой лежащей внутри упомянутой области В, принадлежащей классу и удовлетворяющей условию (11), если величина этого функционала для не меньше (или не больше) его величины для любых других кривых класса находящихся в некоторой -близости к и удовлетворяющих условию (11).

Это понятие относительного экстремума совершенно аналогично понятию максимумами минимума функции [I; 58]. Наряду с понятием относительного экстремума можно ввести и понятие

абсолютного экстремума. Пусть имеется некоторый класс D функций для которых интеграл (10) имеет смысл. Говорят, что функционал J достигает в классе D абсолютного экстремума для кривой если величина этого функционала для не меньше (или не больше) его величины для всех других кривых класса

Сейчас мы будем заниматься только относительным экстремумом и только в конце главы рассмотрим коротко вопрос об абсолютном экстремуме. Для краткости речи относительный экстремум будем называть просто экстремумом. В следующих параграфах мы будем рассматривать функционалы, отличные от функционала (10). Для таких функционалов также можно ставить вопрос как об относительных, так и об абсолютных экстремумах. Мы не будем об этом каждый раз упоминать и будем заниматься сначала только относительными экстремумами

Выведем необходимые условия, которым должна подчиняться для того, чтобы функционал J имел экстремум. Возьмем любую функцию равную нулю на концах промежутка интегрирования, и наряду с которая должна давать экстремум функционалу У, образуем новую функцию , где а — малый численный параметр. Это новая функция удовлетворяет тем же предельным условиям, что и . Подставив ее в функционал У, получим в результате интегрирования некоторую функцию параметра а.

При любом заданном положительном функция находится в -окрестности (даже первого порядка) линии для всех значений параметра а, достаточно близких к нулю. Следовательно, раз дает экстремум функционалу то функция (12) должна иметь экстремум при значении а потому ее производная должна обращаться в нуль при Дифференцируя под знаком интеграла и обозначая производные значками, поставленными снизу, будем иметь

В коэффициенты при вместо подставляется та функция, которая, по предложению, дает экстремум функционалу (10), так что эти коэффициенты суть некоторые непрерывные функции от Согласно лемме 4 коэффициент при имеет производную по Производя интегрирование по частям, получим

Внеинтегральный член равен нулю, так как, по условию, и, следовательно,

Применяя лемму 1, можем утверждать, что функция дающая экстремум интегралу (10), должна удовлетворять уравнению

причем, как мы видели, при подстановке в функцию должна получиться функция, имеющая непрерывную полную производную по Но мы не можем раскрывать эту полную производную по правилу дифференцирования сложной функции, т. е. по формуле

поскольку мы не предположили существования непрерывной производной второго порядка. Ниже мы покажем, что если вдоль исследуемой линии производная , то функция имеет непрерывную производную у и тем самым уравнение (14) может быть переписано в виде

Это уравнение было дано Эйлером и называется обычно уравнением Эйлера. Оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, и его общий интеграл содержит две произвольные постоянные, которые определяют из двух предельных условий (11). Произведение являющееся дифференциалом функции J(а) при называется обычно первой вариацией функционала (10) и обозначается Принимая во внимание (13), можем написать

Приведем теперь доказательство существования непрерывной производной при условии . Полная производная, входящая в уравнение (14), есть предел отношения

при и квадратные скобки обозначают, что соответствующие производные надо брать при некоторых средних значениях

между . Напомним, что мы предположили непрерывность производных второго порядка у функции . В силу сказанного выше левая часть имеет при предел, равный полной производной от по

В правой части первые два слагаемые имеют пределы:

и имеет предел Если этот последний отличен от нуля, то существует предел

который является непрерывной функцией от на тех участках кривой на которых . Если лишь в отдельных точках кривой, то только в этих точках может или не существовать, или потерять непрерывность.

Итак, предполагая, что функция дает экстремум интегралу (10), мы пришли к уравнению (14) или (16) для этой функции, т. е. эти уравнения являются необходимыми условиями того, чтобы функция давала экстремум интегралу (10). Напомним, что мы считали непрерывной функцией. В дальнейшем мы рассмотрим и те случаи, когда имеет в отдельных точках разрывы первого рода.

Основное уравнение Эйлера (16) является дифференциальным уравнением второго порядка и задача сводится к отысканию интегральной кривой, соединяющей две точки, с различными абсциссами Сформулируем в связи с этим теорему С. Н. Бернштейна (1912 г.) для (16).

Если в дифференциальном уравнении

где F определена при всех значениях аргументов и функции непрерывны в каждой точке при любых значениях у и существует такая постоянная и такие ограниченные в каждой конечной части плоскости функции

что при любых аргументах

то через любые две точки у с различными абсциссами проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (18).

Доказательство этой теоремы можно найти в книге Н. И. Ахиезера «Лекции по вариационному исчислению».