104. Основные уравнения теории упругости.

Пусть составляющие вектора смещения при деформации сплошной среды. Картину напряжений в этой среде дают шесть составляющих тензора напряжений:

где — составляющая по оси напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную к этой оси имеют аналогичное значение), составляющая оси напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную к оси у, или наоборот. Аналогичное значение имеют и .

При малых деформациях деформация среды характеризуется следующими шестью величинами:

Величины характеризуют относительные удлинения линейных элементов в направлении осей, а изменение прямого угла, образованного осями х и у. Введем еще две величины, а именно, величину

характеризующую относительное изменение объема, и

Можно показать, что последние две величины не зависят от выбора осей. В классической теории упругости изотропного однородного тела принимают, что составляющие тензора деформации и напряжений связаны между собой линейной зависимостью, которая выражает обобщенный закон Гука:

где G и m — постоянные, характерные для данного вещества, причем G называется модулем сдвига и — коэффициентом поперечного сжатия (постоянная Пуассона). Из закона Гука вытекает непосредственно следующая зависимость между величинами и

Обозначим, далее, через А работу сил деформации, отнесенную к единице объема, которую можно выразить через составляющие тензора деформации или через составляющие тензора напряжений:

причем имеют место, как это можно проверить, пользуясь написанными формулами, следующие соотношения:

Можно показать, что в каждой точке упругого тела существуют такие три взаимно перпендикулярных направления, что если мы их выберем за оси, то в этой точке будут иметь место равенства . Выбирая эти направления за оси координат и обозначая через при таком выборе осей те величины, которые мы раньше обозначали через получим в силу (249) в этой точке следующее выражение для А:

Условие положительности величины А приводит нас к следующему неравенству для постоянной .

Будем сначала говорить об условиях равновесия упругого тела D, ограниченного поверхностью S. Пусть на это тело действуют массовые силы с составляющими:

и положим, что на части поверхности S нам задан вектор смещения, а на части напряжение, причем через мы обозначим составляющие этого напряжения. Это суть заданные функции переменной точки М на 52. Сумма интеграла по D от А и работ внешних сил, взятых с обратным знаком, дает потенциальную энергию упругого тела:

Эта потенциальная энергия является функционалом от трех функций и, о, до координат точек тела . Мы получим уравнение равновесия, если напишем уравнение Остроградского для упомянутого выше функционала, причем надо принять во внимание, что интеграл по поверхности не играет роли при составлении этого уравнения Остроградского. Принимая во внимание, что А не зависит от самих функций и, v, до, а только от их производных, мы придем к следующему уравнению Остроградского для функционала (251) по отношению к функции и:

Принимая во внимание, что А зависит от их только через посредство от — только через посредство уху и от только через посредство можем переписать предыдущее уравнение, учитывая (250), в виде

Аналогично напишутся два других уравнения равновесия. На части граничной поверхности фиксированы значения функций , а на части 52

естественные граничные условия [83] имеют следующий вид:

где — направление внешней нормали к

Подставляя в уравнение (253) вместо составляющих тензора напряжений их выражение через составляющие тензора деформации, мы получим следующие три уравнения равновесия:

или, в векторной форме,

Заметим, что формулу (249) для упругого потенциала мы можем записать в виде

где — составляющие вихря вектора смещения, т. е.

Обратим внимание на то, что выражение, стоящее в квадратных скобках формулы (254), не влияет вовсе на уравнение Остроградского, т. е. мы получим уравнение равновесия упругого тела, если напишем уравнение Остроградского для интеграла:

Чтобы получить уравнение движения, достаточно, согласно принципу Остроградского—Гамильтона, добавить к подынтегральному выражению написанного интеграла член, соответствующий кинетической энергии (с обратным знаком):

где — плотность нашего тела, и проинтегрировать по конечному промежутку времени Таким образом, дело сведется к составлению уравнения Остроградского для интеграла:

по отношению к функциям , до независимых переменных . Это приведет нас, как это нетрудно проверить, к следующим основным уравнениям

динамической теории упругости, записанным в векторной форме:

При этом, как всегда, считается, что в крайние моменты времени перемещения должны совпадать с действительными перемещениями [100].