81. Параметрическая форма.

При разыскании экстремума функционала требование, чтобы искомая кривая имела явное уравнение может существенно сузить задачу, так как может оказаться, что прямые, параллельные оси у, пересекают кривую, дающую решение задачи, более чем в одной точке. Перейдем к рассмотрению общего случая параметрической формы уравнения искомой линии. Считая и у функциями некоторого параметра t, мы можем переписать интеграл (93) в виде

где — производные по — значения параметра, соответствующие концам кривой. Наш интеграл J имеет вид любом выборе параметра

Отметим тот факт, что подынтегральная функция не содержит независимой переменной t и является однородной функцией первого измерения от Рассмотрим, вообще, некоторый интеграл:

у которого подынтегральная функция не содержит независимой переменной t и является однородной функцией первого измерения от и т. е.

Покажем, что при этом интеграл (96) не изменит своего вида при любой замене параметра t. Введем вместо t другой параметр , полагая причем мы считаем так что при возрастании t их также возрастает. Преобразуя интеграл (96) к переменной , получим

и, пользуясь формулой (97), можем написать

т. е. интеграл (96) не изменил своей формы при замене параметра.

Огметим, что роль k в формуле (97) у нас играло так что достаточно потребовать, чтобы тождество (97) имело место при . В дальнейшем мы будем считать, что для интеграла (96) выполнено условие (97).

Напомним, что при определении близости для кривых, заданных в явной форме, мы требовали близости ординат кривых, соответствующих одинаковым абсциссам. В общем случае параметрической формы уравнения можно определить близость независимо от выбора параметра, а именно: мы можем сказать, что кривая l находится в -близости нулевого порядка от кривой если между точками l и можно установить такое взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие, при котором расстояние между соответствующими точками не превосходит 8. Аналогично может быть определена -близость первого порядка.

Перейдем теперь к выводу необходимого условия экстремума. Пусть некоторая линия l дает интегралу экстремум. Производим каким-нибудь образом выбор параметрического уравнения линии так что уравнение будет: Берем близкую кривую причем считаем соответствующими

точки, получаемые при одном и том же значении параметра. Подставляя уравнение близкой кривой в интеграл (96) и приравнивая нулю производные по при мы, как всегда, покажем, что функции должны удовлетворять при любом выборе параметра t системе двух уравнений Эйлера:

Эти уравнения не содержат в явном виде самого параметра. Кроме того, отметим, что по существу дела одну из функций, или мы можем считать произвольной. Действительно, совершая замену параметра , мы получим в силу произвольности выбора мы можем считать одну из этих функций произвольной функцией от т. Учитывая это обстоятельство, мы вправе ожидать, что два уравнения (98) сводятся к одному. Докажем это.

Дифференцируя обе части тождества

выражающего свойство однородной функции по получим

Из последних двух равенств найдем

где через мы обозначили общую величину написанных трех отношений. Возвращаясь к уравнениям (98) и производя дифференцирование, придадим им такой вид:

Заменяя в этих уравнениях формулам по формулам (99), преобразуем их к следующему виду:

где

Мы считаем, что х и у одновременно в нуль не обращаются, так что написанные два уравнения действительно приводятся к одному:

К этому одному уравнению с двумя искомыми функциями, равносильному системе (98), мы можем добавить еще одно уравнение, характеризующее конкретный выбор параметра например, если за параметр мы выберем длину дуги s искомой экстремали, то это добавочное уравнение будет иметь вид . Принимая во внимание выражение радиуса кривизны плоской кривой [I; 71], можем переписать уравнение (101) в виде

Все сказанное без труда может быть распространено и на функционалы, зависящие от кривых в -мерном пространстве. Рассмотрим интеграл:

где - функции от t, а производные. Как и выше, мы считаем функцию F однородной функцией первого измерения от При этом интеграл (103) не меняется при любой замене параметра t. Как и выше, нетрудно показать, что для того, чтобы кривая n-мерного пространства давала экстремум интегралу (103), необходимо выполнение следующих уравнений Эйлера:

или

Нетрудно проверить, что левые части этих уравнений связаны следующим соотношением:

Действительно, в силу однородности F можно написать, согласно теореме Эйлера,

дифференцируя это тождество по находим

Из этих тождеств непосредственно вытекает, что действительно, сумма, стоящая в средней части формулы (105), тождественно равна нулю. Таким образом, в системе (104) одно из уравнений есть следствие остальных, и мы можем добавить к системе (104) еще одно уравнение, характеризующее выбор параметра. Отметим, что вся изложенная теория может быть распространена и на случай кратных интегралов.