112. Финитные бесконечно дифференцируемые функции.

Функция, определенная во всем пространстве и равная нулю во всех достаточно удаленных точках , т. е. в точках, удовлетворяющих условию где М — некоторое положительное число, называется обычно финитной функцией в . Класс финитных бесконечно дифференцируемых в функций обозначается через . Число М для различных функций и этого класса может быть, естественно, различным. Рассмотрим функцию суммируемую по всему пространству из . Обозначим через функцию, совпадающую с и в шаре и равную нулю в остальных точках . Так как , то

Введем теперь усреднения с . Согласно бесконечно дифференцируемы и равны нулю при т. е.

Кроме того,

Фиксируем произвольное нему подберем М так, чтобы

а затем рассмотрим столь малые h, что

Тогда получаем

т. е. функцию и можно аппроксимировать в норме пространства функциями класса Аналогично доказывается, что если и то

Итак, можно считать доказанной следующую теорему:

Теорема 1. Класс плотен в пространствах

Обратимся к рассмотрению ограниченной области и введем класс функций финитных в . Это те функции из для которых открытое множество точек в которых вместе с замыканием лежит внутри . Докажем следующую теорему.

Теорема 2. Класс плотен в . Обозначим через множество тех точек для которых расстояние до границы S открытого множества больше . Легко доказать, что S — замкнутое множество, а множество — бткрытое. Пусть те характеристическая функция множества если и если Через обозначим усреднение для с радиусом усреднения Эта функция обладает следующими свойствами: бесконечно дифференцируема в если , ибо для таких точек шар радиуса , по которому происходит усреднение, не пересекается с так как для таких точек упомянутый шар лежит в где Это следует из того, что и ядро усреднения со неотрицательны, а также из свойства 1).

Пусть Произведение для Оцениваем интеграл

где m — мера Лебега. Любая точка входит в при достаточно малом S и, следовательно, при . Мы имеем из предыдущих неравенств, что

Предположим теперь, что и . В силу сказанного выше при заданном существует такая функция из что . Затем при выбранном существует такое малое что и, следовательно, . Этим доказано, что класс плотен в Аналогично проверяется, что плотен в