57. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши.

Мы начнем сейчас исследование некоторых простейших интегральных уравнений в одномерном случае, в которых интеграл понимается в смысле главного значения При этом мы используем изложенные раньше результаты, касающиеся главного значения интеграла и интегралов типа Коши . Основы теории таких сингулярных интегральных уравнений даны в работах Пуанкаре и Гильберта. Дальнейшее широкое развитие теория получила в работах советских математиков. Систематическое изложение в одномерном случае дано в книге Н. И. Мусхелишвили «Сингулярные интегральные уравнения» (Москва, 1968 г.) и в книге Н. П. Век у а «Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи» (Москва, 1972 г.). В многомерном случае теория сингулярных интегральных уравнений изложена в книге С. Г. Михлина «Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения» (1962 г.).

В дальнейшем, говоря о гладком контуре, мы будем считать, что его уравнения: , где s — длина дуги и функции имеют непрерывные производные до второго порядка.

Начнем с интегрального уравнения первого рода с ядром Коши:

где L — гладкий замкнутый контур, заданная на L функция, удовлетворяющая условию Липшица.

Относительно искомой функции будем предполагать, что она удовлетворяет условию Липшица.

Мы имели раньше формулу

из которой непосредственно следует, что функция

удовлетворяет уравнению (366). Нетрудно видеть, что решение этого уравнения единственно. Действительно, умножая обе части (366) на интегрируя по и принимая во внимание (367), мы получим (368). Короче говоря, формулы (367) и (368) являются следствием одна другой в силу (367). Отметим, что из (368) непосредственно следует, что со удовлетворяет условию Липшица, если этому условию удовлетворяет