83. Естественные граничные условия.

До сих пор при рассмотрении экстремума функционала (93) мы принимали в качестве предельных условий закрепление искомой кривой на ее концах, т. е. задание значений . Укажем сейчас другой вид предельных условий. Положим, что мы ищем экстремум интеграла

причем левый конец искомой кривой закреплен, т. е. на левом конце имеется предельное условие а на правый конец никакого условия не наложено; кроме того, само собой очевидно, что этот конец должен находиться на прямой параллельной оси у. Мы покажем сейчас, что на таком свободном конце должно быть также выполнено некоторое предельное условие, которое непосредственно получится из условия экстремума интеграла (117). Действительно, если некоторая кривая дает экстремум интегралу (117) по сравнению со всеми близкими кривыми со свободным правым концом, то тем более она дает экстремум интегралу (117) при условии закрепления правого конца. Но тогда эта кривая, как мы показали выше, должна удовлетворять уравнению Эйлера, т. е. быть экстремалью интеграла (117). Обратимся теперь к общему выражению первой вариации интеграла [72]:

Как и выше, эта первая вариация должна обращаться в нуль. Член, содержащий интеграл, равен нулю, поскольку функция как мы только что показали, должна и в этом случае удовлетворять уравнению Эйлера. Внеинтегральный член должен обращаться в нуль при так как этот конец является закрепленным. Таким образом, равенство нулю первой вариации приводит нас к равенству при . На свободном конце может быть произвольным, и окончательно мы получаем на свободном конце следующее предельное условие:

Оно дает нам некоторую связь между на свободном конце. Нетрудно проверить, что для интеграла условие (118)

будет иметь вид т. е. в случае интеграла оно сводится к требованию, чтобы на конце экстремаль была перпендикулярна к прямой Предельное условие (118) называется обычно естественным предельным или граничным условием. Повторяя предыдущее рассуждение для случая интеграла

получим на свободном конце следующие предельных условий:

Рассмотрим теперь интеграл, содержащий производные второго порядка:

Принимая во внимание формулы (27) и (28), а также то обстоятельство, что на свободном конце произсольны, мы получаем следующие два естественных граничных условия на свободном конце:

Отметим, что первое из этих условий дает связь между величинами на свободном конце. Совершенно так же для двойного интеграла

естественные граничные условия на контуре будут иметь такой вид:

где - длина дуги контура Это непосредственно вытекает из формулы (33) для первой вариации интеграла (120).