3. Ортогональные системы функций.

В теории интегральных уравнений нам часто придется иметь дело с ортогональными системами функций. Теория таких систем подробно изложена в томе II для вещественных и комплексных функций с использованием как интеграла Римана, так и Лебега [II; 160, 163]. Здесь мы дополним эту теорию указанием на процесс ортогонализагфи систем линейно-независимых функций.

В [III, 31] мы видели, что если имеется линейно-независимых векторов, то всегда можно построить столько же попарно ортогональных и нормированных векторов так, что прежние векторы выражаются линейно через новые, и наоборот. Весь этот процесс дословно переносится и на функции. Пусть

- функции, непрерывные в и линейно-независимые, т. е. тождественное соотношение

с постоянными коэффициентами имеет место только в том случае, если все коэффициенты равны нулю. Построим новые функции, ортогональные и нормированные в

так что выражается линейно через и, наоборот, всякое выражается линейно через Для краткости письма введем обозначение, аналогичное тому, которым мы уже пользовались в алгебре, а именно, обозначим через интеграл от произведения по промежутку

Процесс ортогонализации функций т. е. процесс построения функций совершается следующим образом:

Функции отличаются от лишь численным множителем, который добавляется к функции для того, чтобы сделать эту функцию нормированной, т. е. для того, чтобы интеграл от ее квадрата по промежутку был равен единице. Из написанных формул непосредственно вытекает та линейная зависимость между о которой мы говорили выше. Заметим еще, что ни одна из функций не может обратиться тождественно в нуль, так что ибо если бы, например, мы имели то это привело бы нас к линейной зависимости между

что сводится в линейной зависимости между а это противоречит предположенной линейной независимости функций Из установленного сразу же следует, что так как в противном случае должно было бы быть Таким образом, все формулы, по которым определяются функции имеют смысл, ортогональность функции к уже построенным функциям может быть проверена последовательно. Например,

Имея ортогональные и нормированные , получим

и точно так же и т. д.

Отметим еще тот элементарный факт, что ортогональные функции всегда линеййо независимы. Действительно, положим, что

Умножая обе части на и интегрируя, получим в силу ортонормированности т. е. все коэффициенты должны быть действительно равны нулю.

Во всем предыдущем изложении мы рассматривали функции одной независимой переменной. Все изложенное выше можно повторить и для функций, определенных в некоторой конечной замкнутой области на плоскости, в трехмерном или -мерном пространстве.

Пусть Р — переменная точка конечной замкнутой области В на плоскости, в трехмерном пространстве или на поверхности. Функции образуют ортонормированную систему, если

причем, хотя мы пишем только один знак интеграла, но интеграл считается двойным, тройным или взятым по поверхности. Через мы обозначили элемент соответствующего интеграла, взятого по переменной точке Р. Например, в случае двойного интеграла в декартовых координатах мы имеем

Коэффициентами Фурье функции будут

и неравенство Бесселя запишется так: