Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Ортогональные системы функций.

В теории интегральных уравнений нам часто придется иметь дело с ортогональными системами функций. Теория таких систем подробно изложена в томе II для вещественных и комплексных функций с использованием как интеграла Римана, так и Лебега [II; 160, 163]. Здесь мы дополним эту теорию указанием на процесс ортогонализагфи систем линейно-независимых функций.

В [III, 31] мы видели, что если имеется линейно-независимых векторов, то всегда можно построить столько же попарно ортогональных и нормированных векторов так, что прежние векторы выражаются линейно через новые, и наоборот. Весь этот процесс дословно переносится и на функции. Пусть

- функции, непрерывные в и линейно-независимые, т. е. тождественное соотношение

с постоянными коэффициентами имеет место только в том случае, если все коэффициенты равны нулю. Построим новые функции, ортогональные и нормированные в

так что выражается линейно через и, наоборот, всякое выражается линейно через Для краткости письма введем обозначение, аналогичное тому, которым мы уже пользовались в алгебре, а именно, обозначим через интеграл от произведения по промежутку

Процесс ортогонализации функций т. е. процесс построения функций совершается следующим образом:

Функции отличаются от лишь численным множителем, который добавляется к функции для того, чтобы сделать эту функцию нормированной, т. е. для того, чтобы интеграл от ее квадрата по промежутку был равен единице. Из написанных формул непосредственно вытекает та линейная зависимость между о которой мы говорили выше. Заметим еще, что ни одна из функций не может обратиться тождественно в нуль, так что ибо если бы, например, мы имели то это привело бы нас к линейной зависимости между

что сводится в линейной зависимости между а это противоречит предположенной линейной независимости функций Из установленного сразу же следует, что так как в противном случае должно было бы быть Таким образом, все формулы, по которым определяются функции имеют смысл, ортогональность функции к уже построенным функциям может быть проверена последовательно. Например,

Имея ортогональные и нормированные , получим

и точно так же и т. д.

Отметим еще тот элементарный факт, что ортогональные функции всегда линеййо независимы. Действительно, положим, что

Умножая обе части на и интегрируя, получим в силу ортонормированности т. е. все коэффициенты должны быть действительно равны нулю.

Во всем предыдущем изложении мы рассматривали функции одной независимой переменной. Все изложенное выше можно повторить и для функций, определенных в некоторой конечной замкнутой области на плоскости, в трехмерном или -мерном пространстве.

Пусть Р — переменная точка конечной замкнутой области В на плоскости, в трехмерном пространстве или на поверхности. Функции образуют ортонормированную систему, если

причем, хотя мы пишем только один знак интеграла, но интеграл считается двойным, тройным или взятым по поверхности. Через мы обозначили элемент соответствующего интеграла, взятого по переменной точке Р. Например, в случае двойного интеграла в декартовых координатах мы имеем

Коэффициентами Фурье функции будут

и неравенство Бесселя запишется так:

1
Оглавление
email@scask.ru