ГЛАВА III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ L1 И L2. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПРОБЛЕМА МИНИМУМА КВАДРАТИЧНОГО
ФУНКЦИОНАЛА
110. Усреднение функций из L1 и L2.
Настоящую главу мы посвятим некоторым вопросам теории функций вещественного переменного, связанным в основном с функциональными пространствами 
, о которых мы говорили в томе II [161 — 163] и в начале настоящего тома [22, 23, 62]. В конце главы будет рассмотрена вариационная задача для функционала, содержащего частные производные. При этом само определение частных производных будет существенным образом изменено (обобщенные производные). В дальнейшем все функции считаются вещественными. Мы начнем с процесса усреднения любой функции 
принадлежащей или 12. Этот процесс дает возможность построить функции, имеющие производные всех порядков, и сколь угодно близкие к 
в метрике 
или 
соответственно.
Определим сначала «усредняющее ядро». Введем функцию 
одного вещественного независимого переменного, определяемую следующим образом:
при 1, причем постоянную с определим ниже. Вопрос о непрерывности функции 
и ее производных возникает только при 
. Если 
от меньших значений, то 
Производная любого порядка от функции 
по 
при 
имеет, очевидно, вид
где 
некоторый полином и а — целое положительное число. При 
от меньших значений, раскрывая неопределенность,
убедимся в том, что выражение 
стремится к нулю. Мы видим, таким образом, что функция 
имеет производные всех порядков при 
Дальше мы будем рассматривать пространство 
с декартовыми координатами 
. Мы часто будем обозначать точки этого пространства одной буквой 
или 
и т. д. Расстояние между двумя точками х и у из 
обозначим следующим образом:
Фиксируем какую-нибудь точку у из 
и положительное число 
и рассмотрим функцию 
. Она непрерывна в 
и имеет все непрерывные частные производные по 
. Эта функция отлична от нуля лишь в шаре радиуса h с центром в точке у. Постоянную с определим из условия
Пусть 
- функция, суммируемая по некоторой ограниченной области или, общее, по некоторому ограниченному открытому множеству. В этом случае обычно пишут Совершенно аналогично пишут 
если точка 
принадлежит множеству 
. Если 
принадлежит 
или 
то пишут 
или 
. Продолжим и 
вне S) нулем, т. е. будем считать 
если 
находится вне 
Введем теперь функции 
- средние для функции и 
):
Здесь и в дальнейшем, если нет обозначения области интегрирования, считается, что интегрирование производится по всему 
Фактически в интеграле (3) оно производится по шару с центром 
и радиусом h, ибо вне этой сферы подынтегральная функция равна нулю, и значения 
определяются только значениями и 
в упомянутом шаре.
В частности, 
если 
вне 
а расстояние от 
до границы области не меньше h, ибо 
продолжена нулем вне 
. Отметим еще, что в силу (2)
Для доказательства (4) достаточно использовать замену переменных интегрирования 
.
