67. Случай полубесконечного промежутка.

В том случае, когда в интегральном уравнении с ядром, зависящем от разности, основной промежуток интегрирования не задача становится гораздо болев сложной. Однородные уравнения такого типа изучали Винер и Хопф (1931 г. ), общие уравнения при предположении симметрии ядра, В. А. Фок (1944 г.; В работе И. М. Рапопорга (ДАН СССР, т. 59, № 8, 1948 г.) устанавливается связь такого рода уравнений с предельной задачей Гильберта. В данном пункте мы будем следовать этому методу,

ограничиваясь общими указаниями пути его применения. Рассмотрим уравнение

Функция задана на промежутке на промежутке . Функция ищется на промежутке Предполагается, что заданные функции непрерывны и что при некотором вещественном с произведения

абсолютно интегрируемы и имеют конечное число промежутков возрастания и убывания на соответствующих промежутках.

Доопределим при , полагая при , и будем искать такую функцию чтобы уравнение (444) удовлетворялось на всем промежутке Считаем также, что функция абсолютно интегрируема на этом промежутке.

Для того чтобы применить теорему свертывания для двустороннего преобразования Лапласа, мы должны иметь пределы интегрирования Поступим следующим образом. Введем функции

Уравнение (444) можно при этом переписать в виде

Введем двустороннее преобразование Лапласа [51]

полагая . В силу сделанных предположений об абсолютной сходимости интегралов указанные преобразования выполнимы, и в силу (446) получаем

Принимая во внимание, что при , имеем

и написанный интеграл сходится абсолютно, если вещественная часть удовлетворяет неравенству а функция регулярна справа от прямой и непрерывна вплоть до этой прямой [51]. Совершенно аналогично, в силу предполагаемой абсолютной сходимости интеграла

интегралы

должны сходиться абсолютно, если а удовлетворяет соответственно неравенствам о и и можно утверждать, что функция должна быть регулярна в полуплоскости а функция в полуплоскости причем обе они должны быть непрерывны вплоть до прямой Можно также показать, что в упомянутых областях обе функции должны стремиться к нулю при Равенство (447) связывает предельные значения функций на прямой . Переписывая его в виде

мы видим, что получена неоднородная задача Гильберта (см. [58]). От задачи (384) задача (448) отличается лишь тем, что вместо замкнутого контура L, содержащего внутри начало координат, а вне — бесконечно удаленную точку, контуром в задаче (448) является прямая Это обстоятельство внесет некоторые изменения в формулы. Вместо множителя [формула (376)] возьмем множитель

аргумент которого получает приращение если двигаться снизу вверх по прямой Формула (376) в рассматриваемом случае будет иметь вид

где

(мы предполагаем здесь и в дальнейшем, что Вместо формул (387) будем иметь

а вместо полинома - дробь

так как мы должны теперь применять обобщенную теорему Лиувилля к функции, регулярной всюду, кроме точки

Предполагая, что функции удовлетворяют условию Липшица, выпишем решение задачи (448), исчезающее на бесконечности:

Здесь

- полином с произвольными коэффициентами степени не выше при следует положить

В соответствии с результатами, полученными в конце [58], будем иметь три случая:

Задача (448) имеет решение, зависящее от к произвольных постоянных.

Задача имеет единственное решение.

Стоящий в формуле (449) интеграл должен иметь в точке нуль порядка компенсирующий полюс множителя входящего в Это приводит к необходимым и достаточным условиям разрешимости

При выполнении этих условий задача имеет единственное решение.

Построив по формуле (449) функцию находим по формуле обращения (323) функцию при

Можно показать, что произведение абсолютно интегрируемо на промежутке Записав формулу обращения для функции можно найти при

Сформулируем результат исследования. Если k — число, равное деленному на приращению аргумента функции когда s меняется от до то при уравнение (444) безусловно разрешимо, причем однородное уравнение имеет ровно к линейно-независимых решений. При уравнение безусловно разрешимо и имеет единственное решение (нулевое решение для однородного уравнения). В случае для разрешимости уравнения (444) необходимы и достаточны условия (450). При их соблюдении уравнение имеет единственное решение.