105. Абсолютный экстремум.

Мы ввели [72] понятие абсолютного экстремума. Сейчас рассмотрим частные примеры и приведем в связи с ними некоторые соображения о существовании абсолютного экстремума.

Пусть имеется функционал:

где непрерывные в замкнутом промежутке функции, причем имеет непрерывную производную и

В классе D функций непрерывных вместе с производной в промежутке и удовлетворяющих предельным условиям

требуется найти ту функцию, для которой функционал (255) принимает наименьшее значение.

Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид

Покажем, что при условиях (256) это уравнение имеет на промежутке решение, удовлетворяющее условиям (257), и что такое решение единственно. Пусть решения однородного уравнения:

удовлетворяющие начальным условиям:

Теорема существования и единственности, применимая ввиду обеспечивает наличие таких решений, причем они существуют во всем промежутке . Мы покажем, далее, что . Это равносильно тому, что однородное уравнение (259) не имеет решений, отличных от тождественного нуля и равных нулю при . При этом, очевидно, , и решения линейно независимы.

Общий интеграл уравнения (258) имеет вид

где произвольные постоянные и какое-либо частное решение уравнения (258), существование которого на промежутке обеспечивается теоремой существования при Предельные условия (257) приведут нас к уравнениям

из которых определяются единственным образом.

Таким образом, мы получаем единственное решение уравнения (258), удовлетворяющее предельным условиям (257), причем это решение непрерывно с производными до второго порядка на промежутке Остается показать, что т. е. что однородное уравнение (259) не имеет решений, отличных от тождественного нуля и равных нулю при

Умножая обе части (259) на z и интегрируя по частям, получим

откуда в силу при следует, что

Построенное выше решение уравнения (258) принадлежит классу . Покажем, что оно дает минимум функционалу (255) или, точнее говоря, покажем, что где у — любая функция из класса D, причем знак равенства имеет место только в том случае, когда тождественно .

Всякую функцию из D мы можем представить в виде , где непрерывна с производной на промежутке и равна нулю на концах этого промежутка. Мы имеем

Принимая во внимание свойства мы сможем в первом интеграле произвести интегрирование по частям:

откуда, принимая во внимание, что есть решение уравнения (258) и что получим в силу (256)

причем знак равенства будет иметь место лишь при Действительно, если имеется знак равенства, то мы должны иметь постоянная на промежутке . Но а потому на промежутке . Таким образом, наше утверждение доказано, т. е. при и только при функционал (255) достигает наименьшего значения в классе D. Отметим, что на функции класса D мы наложили требование лишь существования и непрерывности первой производной, а функция при которой функционал (255) достигает наименьшего значения, имеет и непрерывную производную второго порядка.

В качестве второго примера рассмотрим задачу о наименьшем значении функционала:

в классе D непрерывных функций имеющих непрерывную производную на промежутке и удовлетворяющих предельным условиям:

где . В силу последнего условия класс D не содержит постоянной, и, таким образом, для любой функции из D. Множество чисел должно иметь точную нижнюю границу [I; 42]. Покажем, что она равна нулю.

Нетрудно проверить, что при любом положительном функции

принадлежат классу D. Мы имеем

и, следовательно, для функций (262)

Правая часть стремится к нулю при откуда и видно, что точная нижняя граница значений функционала (260) равна нулю. Но, как мы говорили выше, класс D не содержит постоянной и в классе D. Тем самым точная нижняя граница не достигается в классе D, и в этом классе функционал (260) не имеет наименьшего значения.