28. Решение уравнения с ядром из L2 при любом «лямбда».

Рассмотрим уравнение

где Пусть какая-либо замкнутая ортонормированная система в При этом будет замкнутой ортонормированной системой в Для простоты письма считаем функции со вещественными. Мы имеей

где коэффициенты Фурье относительно системы

Ряд (178) сходится в среднем, что равносильно уравнению замкнутости:

Разобьем ряд (178) на две части:

Суммирование во второй сумме производится по таким парам что по крайней мере одно из этих чисел Соответственно имеем

Пусть любое заданное малое число. Можно фиксировать таким, что имеет место неравенство

Таким образом, ядро разбито на два слагаемых, из которых одно вырожденное, а другое, малое

в смысле неравенства (181). Можно переписать основное интегральное уравнение в виде

где

Считая можем выразить согласно через резольвенту ядра

Подставляя вместо его выражение (183), получим

или, принимая во внимание вид

где

Функции регулярны в круге где можно фиксировать произвольно малым. Уравнение (184) есть уравнение с вырожденным ядром и его решение можно свести к алгебраической задаче, как это мы делали в [27]. Определитель для уравнения (182) будет зависеть от Я как через посредство множителя при интеграле, так и через посредство , входящего в . Этот определитель есть регулярная функция от в , и всякий корень его в есть характеристическое значение уравнения (185), и других характеристических значений в нет.

Отметим, что из свойств резольвенты следует, что уравнение (184) для равносильно исходному уравнению (177) в круге .

Отметим еще, что в силу определения резольвенты уравнение (185) равносильно уравнению

Из этого уравнения и (185) следует, что лишь одновременно могут равняться нулю в т. е. характеристические значения уравнений совпадают в , что вытекает и из их равносильности в этом круге.

Для сопряженного уравнения

имеем

где

и, рассуждая как и выше, получим для уравнение с вырожденным ядром

сопряженным с ядром уравнения (184), и следовательно, можем утверждать, что уравнения (184) и (187) имеют одинаковые характеристические значения одного и того же ранга в круге

Конечность ранга любого характеристического значения следует из неравенства Остается еще рассмотреть условия разрешимости неоднородного уравнения, если — характеристическое значение. Именно, необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения

является ортогональность ко всем собственным функциям однородного сопряженного уравнения:

т. е.

В [10] содержится доказательство этого факта для непрерывных ядер. Оно сохраняется и для ядер из если заменить союзное ядро на сопряженное и внести соответствующие несущественные изменения в доказательство.

Таким образом, для ядер из и свободных членов из мы получаем следующие основные теоремы Фредгольма:

Теорема 1. Во всякой ограниченной части плоскости может находиться лишь конечное число характеристических значений уравнения (177) и каждое из них имеет лишь конечный ранг.

Теорема 2. Если не есть характеристическое значение, то уравнение (177) разрешимо при любом свободном члене и имеет единственное решение.

Теорема 3. Если — характеристическое значение уравнения (177), то — характеристическое значение уравнения (188), и оно имеет тот же ранг, что и . Других характеристических значений уравнение (188) не имеет.

Теорема 4. Если — характеристическое значение уравнения, то необходимым и достаточным условием его разрешимости является ортогональность ко всем собственным функциям уравнения (188), соответствующим характеристическому значению . Если это условие выполнено, то уравнение (187) имеет бесчисленное множество решений.

Отметим, что в последнем случае теоремы 4 решение уравнения есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения сложенного с суммой какого-либо полного набора соответствующих собственных функций, умноженных на произвольные постоянные. Число собственных функций, входящих в упомянутый набор, равно рангу характеристического значения :

Распространение аппарата Фредгольма на случай ядер из было проведено в работах Карлемана (Math. Annalen Bd.9 Heft 3/4, 1921 г.) и С. Г. Михлина (Доклады Академии наук СССР, т. XXII, № 9, 1944 г.).

Отметим в заключение, что полярные ядра при есть ядра из 12.