22. Интеграл Лебега.

До сих пор мы рассматривали интегральные уравнения с непрерывными или полярными ядрами и искали решения в классе непрерывных функций на конечном промежутке или в конечной области. При этом везде применялся интеграл Римана. Прежде чем переходить к теории интегральных уравнений с интегралом Лебега, мы кратко напомним некоторые основные факты теории из тома II и несколько дополним ее.

Две непрерывные функции определенные, например, на некоторой промежутке или в некоторой области, считаются совпадающими, если они тождественно равны, т. е. при всех из . В теории Лебега мы ввели понятие «эквивалентных» функций а именно две измеримые функции определенные на некотором измеримом множестве В, называются эквивалентными на В, если почти везде на В, т. е. если мера множества тех при которых равна нулю. Нетрудно видеть, что если эквивалентно эквивалентно некоторой измеримой функции на В, то и эквивалентно со

Две непрерывные функции не равные в какой-либо точке не равны в силу непрерывности и в некотором промежутке, содержащем и, следовательно, не эквивалентны Множество эквивалентных между собой функций образует некоторый класс D, состоящий из бесчисленного множества функций. Каждый такой класс может содержать не больше одной непрерывной функции, но может и не содержать такой функции. В дальнейшем в теории Лебега знак равенства между двумя функциями будет соответствовать их эквивалентности. Было доказано, что эквивалентность функции, тождественно равной нулю на можно выразить равенством

а эквивалентность функций равенством

при этом, конечно, считается, что функции суммируемы.

Теория Лебега легко переносится и на комплексные функции

Измеримость и суммируемость такой функции сводится к соответствующим свойствам

Интеграл определяется равенством:

Из неравенств

следует, что для суммируемости необходимо и достаточно, чтобы ее модуль был суммируемой функцией. Принадлежность равносильна принадлежности или, иначе, принадлежности

Рассмотрим класс комплексных функций на некотором измеримом Каждую такую функцию назовем элементом [ср. II; 161, 162]. Эквивалентные функции отождествляются как элементы Эти элементы можно умножать на произвольные комплексные постоянные и складывать.

Если при сложении заменить слагаемые эквивалентными им функциями, то и сумма заментся эквивалентной функцией. Введем обозначение

Число называется скалярным произведением Оно обладает следующими очевидными свойствами:

Если то - число вещественное. «Норма» элемента определяется равенством

Очевидно, что причем знак равенства имеет место только для нулевого элемента т. е. для функции равной нулю почти везде в [а, b] (эквивалентной нулю).

Элементы называются ортогональными, если Нулевой элемент ортогонален любому элементу. Имеют место следующие формулы.

и неравенство треугольника

Если элементы попарно ортогональны, то из (137) получаем теорему Пифагора:

Последовательность элементов сходится в к элементу если

(сходимость в среднем). При этом будем писать Предел может быть только один. Если последовательность имеет предел, то она сходится в себе, т. е. при беспредельном возрастании , и наоборот, из сходимости в себе вытекает существование предела последовательности

Это свойство называется обычно полнотой пространства Если бы мы взяли вместо пространство функций непрерывных на конечном промежутке то мы могли бы повторить для этого пространства все данные выше определения и свойства, кроме полноты, т. е. из при m и не следует существование предела (непрерывной функции) для последовательности непрерывных функций Но из существования предела для последовательности непрерывных функций к непрерывной функции следует сходимость в себе, т. е. при Это вытекает из формулы

и неравенства треугольника

Выражения непрерывно зависят от числа с и элементов т. е. если и то

Первое и второе утверждения следуют из равенств

и неравенства треугольника. Третье из утверждений было доказано в [II; 162]. Из определения нормы (138) следует, что если то

Сходимость рядов в есть сходимость в среднем, т. е.

равносильно

где

Все функции можно заменить эквивалентными. При этом и функция заменится эквивалентной Из где v — любая функция из следует, что члены ряда (142) можно почленно умножать на и интегрировать почленно, т. е.

Мы переходим теперь к изложению некоторых дополнительных сведений об ортонормированных системах в Основы этой теории изложены в [II; 163].