36. Последовательность собственных чисел и теорема разложения.

Рассмотрим теперь вместо всего его часть, а именно множество тех его элементов , которые ортогональны т. е. удовлетворяют условию

Это множество обозначим через . Исходное пространство, т. е. или будем сейчас обозначать через F (или ). Отметим важные для нас факты, касающиеся Составляя линейные комбинации элементов мы опять получаем элементы Действительно, если то и

Далее, если принадлежат и , то и принадлежит . Действительно, из предельным переходом получаем . Покажем еще, что если элемент принадлежит то и принадлежит Действительно, по условию и мы имеем

Таким образом, мы можем рассматривать оператор как самосопряженный, вполне непрерывный оператор, определенный на . Он преобразует элементы опять в элементы Все наши рассуждения из [34] и [35] сохраняют свою силу с заменой F на Возникает вопрос о норме оператора А в Обозначим ее через . Эта норма определяется согласно теореме 2 из [34]

Норма того же оператора в более широком пространстве F определялась аналогичной формулой (217), где пробегало не . Таким образом, есть верхняя граница более узкого множества чисел, и мы можем утверждать, что .

В частности, может оказаться, что т. е. может оказаться, что А есть оператор аннулирования в Положим, что это не так. Повторяя рассуждения из [35], мы убедимся в том, что при этом уравнение (223), рассматриваемое как уравнение в имеет собственное число и соответствующий собственный нормированный элемент из . При этом Из следует

Строим теперь множество элементов F, удовлетворяющих двум условиям:

Относительно можно утверждать то же, что мы показали выше для и А можно рассматривать как самосопряженный вполне непрерывный оператор в . Если это не оператор аннулирования, то получаем, как и выше, собственное число и нормированный собственный элемент из При этом Из где норма А как оператора в Очевидно,

Продолжая так и дальше, получим собственные числа и соответствующие попарно ортогональные и нормированные элементы причем

и есть норма А как оператора в , откуда

если

Положим, что процесс оборвется при построении следующего собственного числа, т. е. что А окажется оператором аннулирования на множестве определяемом условиями

Пусть — любой элемент из F. Построим элемент:

удовлетворяющий (231), т. е. принадлежащий . По условию мы имеем

или, раскрывая скобки и принимая во внимание, что , получим

т. е. всякий элемент вида Лео разлагается по собственным элементам . Нетрудно проверить, что суть коэффициенты Фурье элемента

Положим теперь, что указанный выше процесс построения отличных от нуля, продолжается беспредельно. Покажем сначала, что последовательность стремится к нулю. Пусть, наоборот, невозрастающая последовательность положительных чисел имеет предел а, больший нуля. Поскольку все собственные элементы имеют норму, равную единице, последовательность должна быть компактна. С другой стороны, принимая во внимание, что попарно ортогональны, получим по теореме Пифагора

и при беспредельном возрастании тип последняя сумма имеет предел , больший нуля, откуда следует, что последовательность не может быть компактной. Полученное противоречие показывает,

Рассмотрим опять элемент (232), принадлежащий . Норма оператора А в равна и, следовательно,

Но, как легко проверить [3],

так что из (233) следует:

и правая часть стремится к нулю при откуда

т. е.

причем сходимость бесконечного ряда надо понимать как сходи мость в среднем отрезков этого ряда к

Мы доказали выше, что собственные элементы, соответствующие различным ортогональны, а собственные элементы, соответствующие одному и тому же можно ортогонализовать. Указанным выше путем мы получаем последовательность собственных элементов, образующих ортонормированную систему.

Теорема 2. Элементы суть все линейно-независимые собственные элементы, соответствующие собственным числам, отличным от нуля, т. е. если некоторый собственный элемент соответствует собственному числу , то должно совпадать с одним или несколькими (собственные значения с рангом есть линейная комбинация соответствующих с постоянными коэффициентами.

Пусть — собственный элемент, соответствующий некоторому Покажем, что должно совпадать с одним или несколькими из и что есть линейная комбинация собственных элементов соответствующих тем собственным числам, с которыми совпадает Если отлично от всех то ортогонально ко всем . Подставляя в формулу и принимая во внимание, что , получим , т. е. — нулевой элемент, что противоречит тому, что — собственный элемент. Положим теперь, что но отлично от остальных Составим элемент

Выражение, стоящее в квадратной скобке, как и , удовлетворяет однородному уравнению

При этом и очевидно, удовлетворяет этому однородному уравнению. Если есть нулевой элемент, то т. е. линейно выражается через Из (235) непосредственно следует, что ортогонально Оно ортогонально также ко всем при так как соответствует собственное число отличное от остальных Таким образом, подставляя в (232), приходим, как и выше, к противоречию, и теорема 2 доказана.

В теории интегральных уравнений вместо (223) мы пользовались записью По доказанному, потому при

Из рассуждении настоящего параграфа следует:

Теорема 3. Все собственные значения вполне непрерывного оператора А, отличные от нуля, имеют конечный ранг и вне любого промежутка — их конечное число. Всякий элемент вида где — любой элемент, разлагается в ряд Фурье

по собственным, элементам причем сходимость этого ряда понимается как сходимость в среднем.

Кроме теоремы 3, отметим еще, что есть максимум значений при условиях

Рассмотрим еще вопрос о решениях уравнения

и докажем следующую теорему.

Теорема 4. Для того чтобы элемент был решением уравнения необходимо и достаточно, чтобы было ортогонально ко всем

Достаточность непосредственно следует из формулы (234) при ибо по условию. Докажем необходимость.

Пусть Принимая во внимание, что можем написать

так как по условию и т. д.

Справедливо также следующее утверждение:

Теорема 5. Если для симметричного вполне непрерывного оператора А уравнение имеет только нулевое решение, то для любого элемента f пространства ряд Фурье построенный по ортонормированной системе собственных элементов А, отвечающих отличным от нуля собственным числам, сходится к f в норме

Это предложение верно не только для но и для любого другого гильбертова пространства. Как известно ряд сходится в к некоторому элементу

Ясно, что при всех Возьмем произвольный элемент По теореме 3 данного пункта Лео разлагается в ряд сходящийся к Лео в норме Поэтому

т. е. . В силу условий теоремы отсюда вытекает, что и т. д.