13. Примеры

1. Пусть

В данном случае

причем мнимщй множитель i участвует только в промежуточных выкладках. Вычисляя получим

Система принимает вид

Имеются два характеристических значения и соответствующие нормированные собственные функции:

2. Пусть

В данном случае

Имеются два характеристических значения им собственные функции:

В обоих примерах ядро было вещественным и оно удовлетворяло условию Такие ядра имеют только вещественные характеристические значения.

Теорию интегральных уравнений с симметричными ядрами мы изложим ниже. уравнения имеют широкие приложения в математической физике.

3. Дадим теперь пример вырожденного вещественного ядра с мнимыми характеристическими значениями. Пусть

В данном случае можно считать:

и отсюда

Для определения характеристических значений получаем уравнение

имеющее чисто мнимые корни. В приведенном примере вещественное ядро удовлетворяет условию

Такие кососимметричные ядра имеют только чисто мнимые характеристические значения.

4. Дадим еще пример вырожденного ядра, не имеющего характеристических значений. Пусть

В данном случае и единственный элемент абудет:

Однородные системы и (922) дают нам и однородное уравнение при всяком к имеет только нулевое решение. Уравнение, дающее характеристические значения, превращается в данном случае в нелепое неравенство .