41. Аппарат Фредгольма в случае симметричного ядра.

Применим изложенный выше аппарат Фредгольма к случаю симметричного непрерывного ядра, считая вещественным,

В этом случае числитель Фредгольма (53) и резольвента также будут симметричными функциями. Мы имели раньше разложение повторных ядер [39]. Подставим эти разложения в формулу (39), причем мы считаем, что удовлетворяет условию (41) и, следовательно,

Нетрудно видеть, что если в этом ряду мы заменим все величины их абсолютными значениями, то полученный двойной ряд с положительными членами будет сходящимся. Действительно, соединяя в нем в одну группу члены, содержащие получим ряд:

Но, сравнивая этот ряд с равномерно сходящимся рядом

мы видим, что отношение общих членов не зависит от переменных и стремится к откуда и вытекает абсолютная сходимость двойного ряда (262). Мы можем, следовательно, в этом ряду собрать в одну группу члены, содержащие Таким образом, мы получим следующее разложение для резольвенты по собственным функциям:

Строго говоря, мы вывели это разложение, предполагая, что удовлетворяет условию (41) Но, заменяя в ряде (264) все члены их абсолютными значениями и сравнивая, как и выше, полученный ряд с рядом (263), мы убедимся в том, что ряд (264) сходится абсолютно и равномерно относительно при любом , отличном от Больше того, он сходится равномерно и относительно в любой ограниченной области плоскости , если отбросить в нем несколько первых слагаемых, имеющих полюсы в этой области. Таким образом, правая часть формулы (264) представляет собой разложение дробной функции на простейшие дроби и совершенно так же, как и формула (57), она дает аналитическое продолжение резольвенты на всю плоскость. В частности, из формулы (264) вытекает, что в случае симметричного ядра всякое характеристическое значение есть простой полюс резольвенты. Заметим, что если мы подставим разложение (264) в формулу (45), то получим формулу (259), дающую разложение решения по собственным функциям.

Положим в формуле и проинтегрируем по

Но, деля обе части (59) на получим

и, следовательно, предыдущая формула может быть переписана в виде

Пусть корень кратности . Мы знаем что для левой части последней формулы значение будет простым полюсом с вычетом . В правой части этой формулы некоторые из чисел будут совпадать с Каждая из соответствующих дробей может быть переписана в виде

т. е. каждая из таких дробей даст в полюсе вычет, равный единице, следовательно, из чисел должны равняться Мы имеем, таким образом, следующую теорему если, в случае симметричного ядра, есть корень кратности , то этому характеристическому значению соответствуют в точности линейнонезависимых собственных функций, т. е. в случае симметричного ядра кратность корня равна рангу соответствующего характеристического значения.

Мы видели выше, ядро имеет своим рядом Фурье относительно системы собственных функций ряд (201). Подставляя этот ряд вместо в правую часть формулы (264), мы убедимся, что резольвента имеет рядом Фурье следующий ряд:

Принимая во внимание, что ряд, стоящий в правой части формулы (264), является рядом равномерно сходящимся, мы можем утверждать, что равномерная сходимость ряда (265) имеет место одновременно с равномерной сходимостью ряда (201), и если это обстоятельство имеет место, то наряду с формулой (202) мы будем иметь и формулу:

Легко получить коэффициенты Фурье функции и непосредственно, умножая обе части (264) на и интегрируя по t. Принимая во внимание, что есть собственная функция ядра и что ортогональны и нормированы, получим таким образом, коэффициенты ряда

Это равенство показывает, что функции суть собственные функция ядра , соответствующие Характеристическим

значениям , где вещественное к мы фиксируем произвольным образом. Нетрудно видеть, что это есть полная система всех собственных функций вещественного симметричного ядра .

Мы можем, таким образом, утверждать, что если примем функцию за новое ядро, то это ядро имеет ту же совокупность собственных функций что и основное ядро, а соответствующие характеристические значения будут Применяя формулу (264) к ядру и обозначая через параметр, входящий в резольвенту, убедимся, что резольвента этого ядра будет такой:

а раскладывая по формуле (264) и совершая элементарные преобразования, найдем без труда:

т. е. если принять за новое ядро, то резольвентой для него будет функция

Отметим, что поскольку для слабо полярных симметричных ядер мы получили разложение повторных ядер и доказали равномерную сходимость ряда (263), мы имеем для таких ядер и разложение (264). Если из то нетрудно показать, что разложение (266) есть ряд Фурье для , соответствующий характеристическим значениям и собственным функциям (ср. [31]).