69. Случай полубесконечного промежутка (продолжение).

Большое исследование уравнений вида (444) и систем таких уравнений проведено при весьма общих условиях для одного уравнения в работе М. Г. Крейна (УМН, т. XIII, в. 5, 1958 г.) и для систем в совместных работах И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна. Мы сможем кратко изложить результаты работы М. Г. Крейна.

В дальнейшем широко используются классы функций, представимых как преобразование Фурье функций из Для краткости вместо этих символов будем просто писать Через R,

обозначим классы функций, представимых в виде

где соответственно из и с — постоянная, различная для разных функций. Функции из продолжимы до функций, регулярных при и непрерывных вплоть до вещественной оси; аналогично и для .

Большую роль в дальнейшем играет

Теорема Винера — Леви. Пусть функция, регулярная в некоторой области на плоскости или на римановой поверхности, функция из R такая, что кривую можно рассматривать как лежащую внутри Тосда и также из R.

Теорема Винера из [62] является частным случаем сформулированной теоремы Винера—Леви при

При формулировке дальнейшего понадобится понятие индекса непрерывной направленной линии на плоскости. Это есть деленное на изменение аргумента при обходе этой кривой. Если она задана в виде

где непрерывна, отлична от нуля и то индекс кривой (или функции ) есть целое число:

При теорема Винера—Леви дает такую теорему Теорема 1. Пусть из преобразование Фурье

и

Тогда существует такое из L, что

Из этой формулы непосредственно следует, что при

В дальнейшем широко используем факторизацию непрерывных на промежутке функций класса R при Под этим термином понимаем представление в виде произведения

где регулярны в соответствующих полуплоскостях и непрерывны вплоть до вещественной оси. Кроме того,

Из (458) легко заключить, что

Факторизация (458) называется канонической, если

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь функции вида

где — преобразование Фурье некоторой функции из так что . Можно считать, что

Сформулируем основные результаты, касающиеся указанной задачи факторизации.

Для того чтобы функция (459) допускала каноническую факторизацию, необходимо и достаточно наличие двух условий,

При этом каноническая факторизация единственна. Кроме того, при выполнении условий (460) существует функция из такая, что

где

Отсюда следует, что

Множители в канонической факторизации определяются также формулами:

В случае общей факторизации имеет место следующее предложение. Для того чтобы функция (459) допускала факторизацию (458), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

В этом случае равенство (158) можно переписать в виде

Последнее означает каноническую факторизацию для функции

Следовательно, для множителей справедливы формулы (461) — (464), если в них заменить на

Рассмотрим теперь уравнение (444):

с ядром из и введем его преобразование Фурье:

Прежде чем формулировать теоремы о решениях уравнения (444), введем некоторые функциональные пространства на промежутке пространства пространство М измеримых ограниченных функций, пространство С непрерывных при функций и пространство С таких функции из С, что . Буквой обозначим одно из указанных пространств Все функции считаются комплекснозначными. В указанных ниже результатах, содержащих обозначение можно подразумевать и некоторые другие пространства. Сформулируем теперь основные теоремы о решении уравнения.

Теорема 1. Для того чтобы уравнение (444) при любом из имело одно и только одно решение из необходимы и достаточны следующие условия:

Теорема 2. Если выполнено условие (465), то неравенство является необходимым и достаточным условием того, чтобы однородное уравнение

имело решения, отличные от нуля, в каком-либо из пространств .

Эти решения во всех пространствах одни и те же, и их мноокество имеет базис, состоящий из v функций стремящихся к нулю при и связанных между собою следующими соотношениями:

где .

Теорема 3. Если выполнено условие (465) и то уравнение (444) при любом из имеет бесчисленное множество решений

Если же , то при данном из уравнение (444) либо вовсе не имеет решений из либо имеет единственное решение. Для того чтобы имел место последний случай, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

где какой-либо базис множества всех решений транспонированного однородного уравнения

Укажем теперь на определение резольвент для решения основного интегрального уравнения.

1. Если выполнены условия (465), (466), то имеется единственная факторизация:

причем

Резольвента определяется формулой

так что при из решение уравнения определяется формулой

Формулу (469) можно записать так:

Если , то формула (470) имеет вид

Отметим, что суть единственные в классе решения уравнений

2. Положим, что выполнено условие (465), но

В этом случае функция допускает следующую факторизацию:

Для функций , определенных равенствами

имеет место представление (468) и формула (469) для резольвенты.

Кроме того, для имеют место представления

причем суть решения однородного уравнения (467). Через них можно, естественно, выразить и решения упомянутые в теореме 2.

3. Если , то у транспонированного уравнения

индекс Если формула (471) определяет факторизацию для уравнения (444), то для транспонированного уравнения имеем факторизацию

Причем играет роль роль .

В указанной выше работе М. Г. Крейна указана возможность использования приведенных выше результатов в том случае, когда ядро таково, что произведение при некотором выборе вещественного числа h принадлежит L. Полагая

мы вместо получим уравнение

к которому применимы указанные выше результаты, и это даст соответствующие результаты для уравнения

Сформулируем аналог первой теоремы. Для того чтобы уравнение для любого такого, что из L, имело одно и только одно решение из L), необходимо и достаточно, чтобы

Отметим еще, что если есть резольвента уравнения (444), то резольвента уравнения будет выражаться формулой

В работе М. Г. Крейна содержатся и дальнейшие исследования этого случая, в частности, для однородного уравнения.

Рассмотрим кратко один частный случай уравнения при выполнении условий (465) и (466). Легко построить такие ядра из L, что — рациональная функция от А. Пусть — степень знаменателя. При этом в силу степень числителя 1 и

В силу (465) и (466) числа должны быть комплексными, причем внутри верхней и нижней полуплоскостей должно быть одинаковое число нулей и полюсов дроби.

Пусть из нижней полуплоскости и из верхней, причем пусть а, различны. При этом

и

Если ядро симметрично, т. е. , то и