88. Поле экстремалей в трехмерном пространстве.

Переходим теперь к изложению геометрической теории для случая интеграла (147).

Будем рассматривать специальные семейства экстремалей, которые мы сейчас и определим. Пусть некоторая кривая в пространстве. Назовем ее квазидлиной или -длиной величину интеграла (147), взятого вдоль этой кривой. Так, например, в случае интеграла (2), соответствующего задаче геометрической оптики, квазидлина будет выражать время, в которое точка проходит кривую двигаясь с заданной в пространстве скоростью

Рассмотрим пучок экстремалей, выходящих из заданной точки в пространство, и пусть этот пучок образует семейство в некоторой окрестности точки т. е. положим, что в этой окрестности экстремали пучка взаимно не пересекаются, кроме точки

На каждой экстремали от точки отложим дугу так, чтобы квазидлина этой дуги для всех экстремалей была равна одному и тому же числу . Геометрическое место точек М будет давать нам некоторую поверхность, которую мы назовем квазисферой с центром Меняя число , мы получим семейство квазисфер, зависящее от одного параметра и заполняющее некоторую окрестность точки Нетрудно видеть, что экстремали нашего пучка будут пересекаться с квазисферами трансверсально, т. е. в каждой точке, принадлежащей некоторой окрестности точки функции наклона нашего пучка экстремалей будут удовлетворять условию трансверсальности (157), где суть составляющие бесконечно малого перемещения по квазисфере, проходящей через упомянутую точку.

Действительно, обратимся к формуле, дающей выражение вариации функционала (147) в общеда случае:

и положим, что конец М экстремали нашего пучка движется по поверхности квазисферы. При этом величина функционала J по построению остается постоянной, и, следовательно, . В правой части формулы (158) интегральный член обращается в нуль, поскольку взятая кривая является экстремалью; внеинтегральный член обращается в нуль на нижнем пределе, так как точка закреплена и, следовательно, в этой точке а поэтому внеинтегральный член и на верхнем пределе должен обратиться в нуль, т. е. в точке движущейся по поверхности квазисферы, должно быть выполнено условие трансверсальности (157). Заметим, что весь наш пучок экстремалей зависит от двух произвольных постоянных, и движение точки М по поверхности квазисферы сводится к изменению значения этих постоянных, которые играют в данном случае роль параметров, о которых мы говорили в [86].

Пусть М — некоторая точка, принадлежащая окрестности точки Мы имеем определенную экстремаль, соединяющую с М, и величина интеграла (147) вдоль дуги этой экстремали является определенной функцией координат точки М. При этом семейство квазисфер имеет, очевидно, уравнение

где — параметр, о котором мы говорили выше. Обычно говорят, что пучок экстремалей, выходящих из точки образует (в окрестности

стности центральное поле экстремалей. Упомянутые выше квазисферы называются трансверсальными поверхностями этого поля и функция — основной функцией поля.

Перейдем теперь к построению общего поля экстремалей. Пусть - некоторая поверхность в трехмерном пространстве. В каждой точке этой поверхности условие трансверсальности (142) определяет значения , или (157) определяет значения v и w в этой точке. Принимая эти значения у и за начальные значения производных, мы можем из каждой точки поверхности выпустить экстремаль, которая пересекается трансверсально с поверхностью . Проделывая это для каждой точки поверхности мы получим совокупность экстремалей, зависящую от двух параметров, пересекающихся трансверсально с поверхностью . Пусть в некоторой окрестности этой поверхности указанные экстремали образуют семейство, т. е. взаимно не пересекаются. Отложим на каждой экстремали нашего семейства от точки лежащей на поверхности дугу так, чтобы величина интеграла (147) вдоль этой дуги экстремали имела заданное значение . Геометрическое место концов М этих дуг даст нам некоторую поверхность

Нетрудно видеть, что экстремали нашего семейства пересекаются с этой поверхностью S трансверсально. Действительно, достаточно лишь повторить прежнее рассуждение, которое мы проводили в случае центрального поля. Правда, в данном случае точка не является неподвижной, а движется по поверхности но экстремали нашего семейства, по самому их построению, пересекаются с трансверсально, а потому в правой части формулы (158) внеинтегральный член обращается на нижнем пределе в нуль, совершенно так же, как и в случае центрального поля. Таким образом, поверхности S, заполняющие часть пространства в окрестности поверхности пересекаются с экстремалями построенного семейства трансверсально. В этом случае также говорят, что семейство экстремалей является полем экстремалей, а поверхности S суть трансверсальные поверхности этого поля. Таким образом, семейство экстремалей является полем экстремалей, если существует семейство поверхностей, ависящих от одного параметра и пересекающихся трансверсально с экстремалями семейства. Величина интеграла (147), взятого вдоль упомянутой выше дуги экстремали нашего поля, является функцией координат точки М, и уравнение (159) есть уравнение семейства трансверсальных поверхностей нашего поля. В частности, при мы имеем поверхность . В случае интеграла, соответствующего задаче геометрической оптики, квазисферы центрального поля представляют собой фронт волны от локального возмущения в точке в различные моменты времени. В общем трансверсальные поверхности дают также фронт волны

в различные моменты времени, при условии, что есть фронт волны в начальный момент времени.

В каждой точке трансверсальной поверхности S коэффициенты при в условии трансверсальности (157) должны быть пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхности S. С другой стороны, эти направляющие косинусы, как известно, пропорциональны частным производным от левой части уравнения (159) по координатам, т. е. эти частные производные должны быть пропорциональны коэффициентам в условии трансверсальности (157). Но, как мы сейчас покажем, имеет место тот замечательный факт, что мы имеем в данном случае не пропорциональность, а точное равенство, т. е.

причем в написанных формулах у и да мы должны, конечно, считать функциями . Это будут те функции наклона нашего поля, о которых мы говорили в предыдущем параграфе. Это утверждение, как мы сейчас покажем, непосредственно следует из основной формулы (158).

Для отчетливости рассмотрим сначала центральное поле. В этом случае, как мы уже говорили выше, является величиной интеграла (147) по дуге экстремали нашего центрального поля.

Будем двигать конец М уже не по квазисфере, как это мы делали выше, а произвольным образом в пространстве. При этом, конечно, будет, вообще говоря, меняться и экстремаль поля, соединяющая с подвижной точкой М. В данном случае перемещение точки М будет зависеть не от двух параметров, как выше при движении по квазисфере, а от некоторых трех параметров, которые мы не будем фиксировать. Обозначим буквой 8 дифференциал, относящийся к изменению этих параметров. Вернемся к основной формуле (158), причем величину интеграла J мы можем, в силу сказанного выше, заменить функцией . В правой части этой формулы интегральный член пропадает ввиду того, что мы интегрируем по экстремали. Внеинтегральный член на нижнем пределе также обратится в нуль, так как точка закреплена. Но внеинтегральный член на верхнем пределе уже не обратится в нуль, так как точка движется не по квазисфере, а любым образом, и мы будем иметь равенство

откуда и вытекают формулы (160).

Совершенно так же проводится доказательство этих формул и для любого поля. Вместо квазисфер мы имеем поверхности S, и внеинтегральный член в правой части формулы (158) по-прежнему

обращается в нуль на нижнем пределе, поскольку поверхность пересекается с экстремалями поля трансверсально.

Исключая v и w из трех уравнений (160), мы получим уравнение с частными производными первого порядка для основной функции поля:

Таким образом, оказывается, что для любого поля основная функция должна удовлетворять одному и тому же уравнению (162). Покажем теперь, наоборот, что, вообще говоря, всякое решение уравнения (162) является основной функцией для некоторого поля.

Пусть есть некоторое решение уравнения (162). Определим функции v и w по формулам:

Дифференцируя тождество

по у и , получим уравнения (156), т. е., как мы видели выше, построенным функциям v и w соответствует некоторое семейство экстремалей, для которого они являются функциями наклона. В силу (163) и (164), левая часть уравнения (157) есть полный дифференциал функции есть семейство трансверсальных поверхностей для упомянутого выше семейства экстремалей, и, таким образом, это семейство экстремалей образует поле. В силу (161) в этом случае левая часть уравнения (157) есть полный дифференциал основной функции поля и, таким образом, функция является основной функцией упомянутого выше поля. Отметим еще, что из предыдущего вытекает, что для того чтобы семейство экстремалей давало поле, необходимо и достаточно, чтобы левая часть уравнения (157) была полным дифференциалом, т. е. чтобы криволинейный интеграл от этой левой части не зависел от пути.

В случае интеграла, соответствующего основной задаче геометрической оптики, условие трансверсальности (142) имеет вид

или, после очевидных упрощений,

откуда непосредственно следует, что в данном случае условие трансверсальности совпадает с условием ортогональности, и трансверсальные поверхности любого поля пересекаются ортогонально с экстремалями этого поля.

Канонические переменные и функция Н определяются в данном случае равенствами:

или, после упрощений,

а уравнение (162) имеет такой вид:

Если , то пространство однородно, и экстремалями будут прямые линии. Они образуют полев том и только в том случае, когда являются нормалями к некоторой поверхности Остальные трансверсальные поверхности поля мы получим, откладывая на этих нормалях отрезки одной и той же длины Можно получить эти поверхности, проводя семейство сфер с центром на и фиксированным радиусом и беря огибающую этого семейства сфер (построение Гюйгенса). Это же построение сохраняется и в случае неоднородного пространства, если только сферы заменить квазисферами. Отметим еще, что в [II; 140] выяснены условия, при которых семейство прямых линий будет семейством нормалей к некоторой поверхности.