84. Функционалы более общего типа.

Рассмотрим сейчас первую вариацию функционалов, которые, кроме обычных интегралов, содержат дополнительные слагаемые, зависящие от значений функций на концах промежутка интегрирования или на контуре области интегрирования. При исследовании экстремума таких функционалов мы придем к прежним уравнениям Эйлера, и дополнительные члены в этих функционалах окажут лишь влияние на форму естественных предельных условий. Вводя эти дополнительные

члены, мы сможем получать различные формы естественных предельных условий, важные в приложениях вариационного исчисления к математической физике. Ограничимся рассмотрением отдельных частных случаев.

В качестве первого примера рассмотрим функционал:

где - значения функции на концах промежутка интегрирования, а суть заданные функции своих аргументов, причем знак минус перед поставлен для удобства дальнейших вычислений. Рассматривая близкие кривые подставляя в функционал, дифференцируя по а и полагая , получим следующее выражение первой вариации:

Если некоторая кривая дает функционалу (122) экстремум при свободных концах, то тем более она должна давать экстремум при закрепленных концах, т. е. в последних формулах мы можем считать и основная лемма покажет нам, как всегда, что должна удовлетворять обычному уравнению Эйлера. Если оба конца свободны, то в формуле (123) бух и произвольны, и мы получаем предельные условия вида

Полагая, например, получим при предельное условие вида

и, в пределе, при будем иметь , т. е. придем к случаю закрепленного конца.

В случае двойного интеграла в качестве дополнительного члена возьмем криволинейный интеграл по контуру l основной области интегрирования В, причем за независимую переменную в этом криволинейном интеграле мы примем длину дуги s контура l, отсчитываемую от некоторой определенной точки этого контура. Будем считать, что под знак интеграла в криволинейном интеграле входят: независимая переменная искомая функция и и ее касательная производная , т. е.

Производя обычные вычисления, придем к следующему выражению для первой вариации:

Рассуждая как и выше, можно показать, что для того, чтобы функция давала экстремум функционалу (124) при естественном граничном условии, необходимо, чтобы функция и удовлетворяла обычному уравнению Остроградского, и чтобы на контуре l было выполнено предельное условие:

В качестве примера рассмотрим функционал:

где заданная на l функция. В данном случае уравнение Остроградского превратится в уравнение Лапласа, а предельное условие будет иметь вид

Принимая во внимание, что и суть направляющие косинусы касательной к , а следовательно, и направляющие косинусы внешней нормали к можем написать предельное условие в следующем виде

Мы пришли, таким образом, к задаче интегрирования уравнения Лапласа при заданных значениях нормальной производной на контуре области, т. е. к задаче Неймана. Если бы мы взяли

то получили бы предельное условие вида

Отметим еще одну возможность повлиять на естественные предельные условия, не меняя уравнений Эйлера и Остроградского. Этого можно достигнуть не путем добавления к функционалу дополнительных слагаемых, как это мы делали выше, а путем добавления к подынтегральной функции основного интеграла такого выражения, которое не оказывает влияния на уравнение

Эйлера или Остроградского. Мы построили такие выражения в [75]. Если, например, мы рассмотрим вместо интеграла

интеграл

где , то уравнение Эйлера не изменится, а естественное предельное условие вместо будет .

Аналогичным образом можно поступать и в случае кратного интеграла.