Предисловие переводчика

Предлагаемая книга представляет собой исчерпывающее изложение теории пересечений алгебраических циклов на алгебраических многообразиях. Более того, это единственное в мировой литературе изложение данного предмета на современном уровне.

Теория пересечений формировалась последние два столетия под влиянием потребностей алгебраической и прежде всего исчислительной геометрии. Классическим и наиболее ранним ее результатом является знаменитая теорема Безу (сформулированная еще в «Principia» Ньютона). Эта теорема утвержает, что две плоские кривые степеней пересекаются в точках, если правильно посчитать точки пересечения. Уже здесь видна суть теории пересечений — определенные инварианты пересечений остаются неизменными при вариации пересекаемых многообразий или циклов.

Становление идейной части теории пересечений происходило в конце 19 — начале 20 вв. Тогда были введены основные понятия — цикла, рациональной и алгебраической эквивалентностей, канонического класса, — найдены многочисленные формулы и даны разнообразные геометрические применения. Виртуозное владение линейными системами и их пересечениями часто заменяло использование пучков и когомологий. Вопросы тщательного обоснования не стояли в то время на первом плане.

Дальнейшие импульсы к развитию теория пересечений получила в связи с возникновением алгебраической топологии (многие конструкции которой она предвосхитила) и затем в связи с многомерным обобщением теоремы Римана — Роха. Отчасти отсутствие удовлетворительной теории пересечений вынудило Гротендика создать -теорию, развившуюся затем в самостоятельную область математики. Сюда же относятся попытки обоснования теории пересечений при помощи методов локальной и гомологической алгебры. Подводя надежную базу, гомологический подход затемнял интуитивную прозрачность геометрических идей.

Отсутствие простых и удобных оснований теории пересечений и разработанного формального аппарата ощущалось постоянно и вызывало неудобство. Это отразилось в том, что ни один учебник по алгебраической геометрии не содержал удовлетворительного изложения теории пересечений, хотя и не мог обойти ее молчанием. Как правило,

авторы ограничивались частным, хотя и наиболее важным случаем — построением индекса пересечения циклов дополнительной размерности.

Появление книги Фултона коренным образом изменило положение. Автору (вместе с Р. Макферсоном) удалось найти единообразное и элементарное определение пересечения. Основная их конструкция — деформация к нормальному расслоению — как бы линеаризует ситуацию пересечения, сводит ее к модельной ситуации векторного расслоения. Это позволило вернуть теорию к ее геометрическим истокам, к геометрическому образу мысли. В частности, удается освободиться от предположений проективности и компактности объемлющих многообразий и допускать в той или иной степени особенности.

Однако автор настоящей книги не ограничился построением основ теории пересечений и соответствующего формального аппарата. Пользуясь унифицированным подходом, он пересмотрел большинство алгебро-геометрических применений теории пересечений, в частности, дал простое доказательство теоремы Римана — Роха. А так как такие применения пронизывают всю алгебраическую геометрию, эта книга больше, чем какая-либо другая из числа современных, дает представление о богатстве классического наследия алгебраической геометрии. Такой широкий охват материала удается за счет того, что многие вопросы выносятся в многочисленные примеры, помещенные в конце каждого параграфа. Это позволяет избежать подробных объяснений и доказательств, но за счет кратких указаний дать читателю возможность самостоятельно разобрать любой вопрос. Обилие литературных ссылок и исторических замечаний также помогает создать представление о предмете, часто расходящееся со стереотипным.

Книга написана очень ясно и доступно и не требует никаких специальных знаний, кроме стандартных понятий алгебры и алгебраической геометрии. Для удобства читателя в конце книги приведено дополнение, содержащее основные понятия и конструкции алгебраической геометрии, нужные для чтения основного текста.

Она является прекрасным дополнением к уже вышедшим в издательстве «Мир» монографиям Ф. Гриффитса и Дж. Харриса «Принципы алгебраической геометрии» (1982 г.), Д. Мамфорда «Алгебраическая геометрия I. Комплексные проективные многообразия» (1979 г.) и Р. Хартсхорна «Алгебраическая геометрия» (1981 г.).

3 заключение хочется поблагодарить автора, любезно приславшего список исправлений, которые учтены в русском издании.

В. И. Данилов