Замечания и литература

Процедура редукции к диагонали, т. е. замена пересечения двух циклов на неособом многообразии пересечением их внешнего произведения с диагональю, играет важную роль в теории пересечений. Ее присутствие можно обнаружить в теории соответствий прошлого столетия

(ср. [Fieri 1]). Видимо, впервые этот принцип в современной геометрии использовал Вейль ([Weil 2]) в 1946 г., хотя уже Лефшец ([Lefschetz 3]) широко использовал циклы на произведении многообразий.

Следуя модели Лефшеца в топологии и идеям Севери в алгебраической геометрии, построение кольца пересечений для неособого проективного многообразия обычно разбивали на два отдельных шага: (1) развивали теорию кратностей пересечений (см. замечания к гл. 7) и определяли цикл пересечения для собственно пересекающихся циклов; (2) показывали, что в любых двух классах циклов имеются представители, пересекающиеся собственно, и что получающееся произведение корректно определено с точностью до рациональной эквивалентности. Этому подходу следовали Самюэль ([Samuel 3]), Чжоу ([Chow 1]) и Шевалле ([Chevalley 2]). В этом же направлении шли и более ранние описания - среди прочих отметим работы [Seven 9], [Todd 2, 6], [Segre 4], [Hodge - Pedoe 1].

В представленном здесь варианте, кратко намеченном в работе [Fulton - MacPherson 1], произведение-пересечение двух циклов на неособом многообразии строится прямо, за один шаг, как корректно определенный класс рациональной эквивалентности на пересечении носителей двух циклов. Кроме простоты, главное достоинство этого подхода состоит в том, что он приводит к полезным формулам для классов пересечений в случаях несобственного пересечения. Удачно и то, что конструкция хорошо работает и на непроективных многообразиях; построение кольца рациональной эквивалентности для регулярной алгебраической схемы может быть осуществлено также с помощью высшей АГ-теории (см. гл. 20).

В проективном случае для многообразий дополнительной размерности в работе [Murre 1] показано, как можно приписать кратность пересечения каждой связной компоненте пересечения что давало ответ на вопрос Вейля. Используемый там метод, основанный на лемме о сдвиге, вероятно, приводил бы в случае проективного объемлющего многообразия к классу в построенному нами в § 8.1.

Оригинальная теорема Безу ([Besout 1]) относилась к числу нулей многочленов от переменных; более ранние результаты такого рода можно найти в работах Я. Бернулли, Эйлера, Брейкенриджа и Маклорена (ср. [Berzolari 2] и [Zeuthen - Pieri 1]). Теперь это название дается

различным теоремам, относящимся к пересечению произвольных циклов на проективном пространстве, а часто и в более общих ситуациях, когда кольцо пересечений многообразия вычисляется явно. Подход Понселе к теореме Безу состоял в деформации пересекаемых многообразий в объединение линейных пространств и использовании его принципа сохранения числа решений. В настоящей главе мы следуем этому подходу, соответствующим образом обосновав его. В самом деле, как только известно, что произведение-пересечение корректно определено на классах рациональной эквивалентности, теорема Безу становится очевидной.

Первое современное алгебраическое — а возможно, первое полное — доказательство оригинальной теоремы Безу было дано Маколеем ([Macaulay 1]). О связи с результантами см. пример 8.4.13. Обсуждение теоремы Безу с акцентом на алгебраической стороне дела дано Фогелем ([Vogel 1]); его метод также приводит к утверждению примера 8.4.6.

Для пересечений на имеется интересный вариант редукции к диагонали: пересечение в эквивалентно пересечению линейного соединения с линейным пространством в (пример 8.4.5). Эта конструкция применялась в статье [Gaeta 1] для сравнения точки Чжоу произведения циклов с точками Чжоу сомножителей. Алгебраический аналог был использован в работе [Boda - Vogel 1]. Геометрической конструкцией, данной в примере 8.4.5, мы обязаны Делиню; она оказалась полезной при изучении топологии проективных многообразий (см. [Fulton - Lazarsfeld 1]). Результат примера 8.4.6 был открыт и доказан вместе с Макферсоном и Лазарсфельдом в ответ на вопрос Клеймана.

Произведения-пересечения из § 8.1 обобщают соответствующее понятие, введенное Серром ([Serre 4], , который определил такие произведения и установил их формальные свойства в случае собственных пересечений.