2.3. Пересечения с дивизорами

Определение 2.3. Пусть псевдодивизор на схеме X, и пусть К — некоторое -мерное подмногообразие в Определим класс, обозначаемый или в следующим образом. Пусть вложение; ограничение (обратный образ) есть псевдодивизор на К с носителем Определим как класс дивизоров Вейля псевдодивизора (определение 2.2.2):

Если дивизор Картье, можно сказать так: если то ограничивается до дивизора Картье на ассоциированный с ним дивизор Вейля; если же то есть класс в представленный где С — любой дивизор Картье на V, линейное расслоение которого изоморфно

В соответствии с соглашениями из § 1.4 мы будем обозначать через также и образ этого класса в где любая замкнутая подсхема в X, содержащая

Носителем -цикла на X (обозначается называется объединение подмногообразий К, входящих вас ненулевым коэффициентом. Для псевдодивизора на X каждый можно рассматривать как класс в Определим класс пересечения полагая

Как и выше, мы рассматриваем для любого такого, что

Эти классы пересечений будут использованы в двух важных конструкциях:

(1) Если линейное расслоение на а совпадает с действием первого класса Чженя расслоения на а (§ 2.5).

(2) Если эффективный дивизор Картье на вложение, а будет выступать как обратный образ Гизина

Замечание 2.3. В одном важном случае пересечение с определено на уровне циклов. Если ограничение расслоения на есть тривиальное линейное расслоение, то определяет гомоморфизм

обозначаемый также Как и раньше, где вложение и но если

Это условие выполняется, когда главный дивизор Картье на X или на некоторой окрестности дивизора Например, пусть многообразие X доминантно отображается на кривую простая точка на тогда прообраз точки удовлетворяет этому условию. Получающиеся гомоморфизмы в называются гомоморфизмами специализации (ср. § 10.1).

Предложение 2.3. (а) Если псевдодивизор на X и а, а суть k-циклы на X, то

(b) Если псевдодивизоры на X и а есть k-цикл на X, то

(c) (формула проекции). Пусть псевдодивизор на собственный морфизм, а есть -цикл на морфизм индуцированный Тогда

(d) Пусть псевдодивизор на плоский морфизм относительной размерности а есть -цикл на индуцированный морфизм из Тогда

(e) Если псевдодивизор на X с тривиальным линейным расслоением есть -цикл на X, то

Доказательство. Пункт (а) следует прямо из определения. При доказательстве пп. можно считать, что где V — многообразие. (Ь) следует из того, что ограничение на V и образование ассоциированных классов дивизоров Вейля согласовано с суммами. В (с), пользуясь функториальностью прямых и обратных образов, можно предполагать, что Пусть представлен дивизором Картье, также обозначаемым через Тогда содержание (с) составляет следующее тождество для циклов на X:

Это локальное утверждение на X, так что можно предполагать, что для некоторой рациональной функции на Тогда из предложения 1.4 с имеем

как и требовалось.

В утверждении (d) также можно предполагать, что представлен дивизором Картье. Мы должны показать, что как циклы на Снова это локальное утверждение, так что можно считать разностью двух эффективных дивизоров. Так как обе стороны аддитивны, можно считать эффективным. Тогда это частный случай леммы 1.7.1.

В (е) мы можем считать, что и что представлен дивизором Картье. Утверждение тогда состоит в том, что когда главный псевдодивизор, а это мы уже видели (§ 2.1).

Пример 2.3.1. Пусть а есть -цикл на есть -цикл на псевдодивизор на проекция. Тогда

(Сводим к случаю где многообразие, и применяем предложение