14.6. Расслоения Грассмана

Пусть векторное расслоение ранга над схемой положительное целое число, меньшее Пусть расслоение Грассмана -плоскостей в с проекцией Существует универсальная точная последовательность

на где универсальное подрасслоение ранга универсальное факторрасслоение ранга Положим

Соответствующие из § 14.5 выражаются формулой

как видно из формулы Уитни.

В этом разделе разбиением X будет называться последовательность из d членов, Из следствия (3) леммы 14.4.1 видно, что если поэтому предыдущее ограничение отбрасывает лишь нулевые многочлены Шура. Для заданного X полагаем

Предложение 14.6.1 (формула Пьери). Для любого разбиения

где суммирование идет по всем разбиениям

Это следует из леммы 14.5.2 и предыдущих замечаний об обращении в нуль. Аналогичным образом следующее предложение вытекает из леммы 14.5.3.

Предложение 14.6.2 (формула умножения). Для разбиений

где суммирование идет по всем разбиениям задаются правилом Литтлвуда — Ричардсона.

Предложение 14.6.3 (теорема двойственности). Пусть разбиения с Тогда

Доказательство. В силу согласованности с собственными вложениями можно предполагать, что где X — многообразие; поэтому Если заключение вытекает из соображений размерности. Если то

для некоторого целого Равенство остается верным при замене X его открытым подмногообразием, поэтому расслоение можно считать тривиальным. В этом случае мы утверждаем, что

Здесь соответствует разбиению на d равных частей. Это следует без труда из правила Литтлвуда — Ричардсона (см. также пример 14.6.1). Для данного разбиения X единственное строгое -расширение X до прямоугольной -таблицы получается добавлением на каждом этапе нового символа в каждый столбец, не заполненный на предыдущем этапе.

Чтобы завершить доказательство, нам остается показать, что Выберем флаг А тривиальных подрасслоений и пусть а — проекция в Согласно детерминантальной формуле,

Здесь Поэтому отображает изоморфно на X, так что что и требовалось установить.

Предложение 14.6.4 (формула Джамбелли). Пусть флаг подрасслоений Е:

Пусть где проекция в т. е.

Пусть Предположим, что X — равноразмерная схема. Тогда имеет чистую коразмерность Если для всех и всех то

Доказательство. Детерминантальная формула (теорема 14.3) дает

Предположение о классах Чженя влечет за собой

Остается проверить, что . Это проверяется локально на окрестностях, где расслоения тривиальны и На неособом многообразии это равенство известно по теореме и оно сохраняется при плоском обратном образе на

Предложение 14.6.5 (теорема о базисе). Для любого к имеет место канонический изоморфизм

где суммирование производится по всем разбиениям Каждый элемент единственным образом представляется в виде

где а X такое же, как и выше.

Доказательство. (См. также пример 14.6.2.) Пусть гомоморфизм, переводящий Если ненулевой элемент из ядра выберем X с наибольшим так, чтобы Определим как разбиение с По двойственности (предложение

14.6.3) получаем противоречие

Чтобы показать сюръективность достаточно проверить, как при доказательстве теоремы которая является частным случаем этого предложения при что сюръективность имеет место при неприводимом X и тривиальном Выберем базис ей для что отождествляет Для каждой последовательности пусть будет пространством, порожденным и

Заметим, что если а для всех Мы уже видели, что подмногообразие в и что

Для доказательства сюръективности достаточно показать, что для каждого а гомоморфизм

переводящий сюръективен; обозначает здесь

Пусть V — пространство, порожденное пространство, порожденное остальными базисными векторами. Пусть

Тогда аффинное открытое подмногообразие в канонически изоморфное Любое из имеет единственный базис, проектирующийся в базис пространства определяется -матрицей

Здесь строка дает разложение базисного вектора по базису Обратно, любая такая матрица определяет некоторое пространство из Положим

Это линейное подпространство в Нот размерности ; в терминах указанной выше матрицы оно задается обращением в нуль всех элементов, стоящих правее 1 во всех строках. Существует разложение

где оставлены только те последовательности которые являются строго возрастающими и положительными. Теперь все следует из индукции по и точной последовательности (предложение 1.8)

Пример 14.6.1. Для теоремы двойственности можно дать простое геометрическое доказательство. Можно считать тривиальным с базисом ей Пусть порождается первыми базисными элементами, последними элементами. Пусть По формуле Джамбелли

Тогда кроме того случая, когда для всех и в этом случае состоит из одной приведенной точки. Остается применить предложение 8.2.

Пример 14.6.2. Теорему о базисе можно также доказать индукцией по Если с тривиальным мы имеем вложение к дополнение к которому является аффинным расслоением над снабженным сечением Получаем диаграмму

Вычислим, как классы переносятся указанными отображениями, и используем формулу Знание образующих для определяет образующие для (Другое доказательство, основанное на этой геометрической конструкции, см.

Пример 14.6.3. Пусть открытое аффинное подмногообразие многообразия Шуберта построенное в доказательстве теоремы о базисе. Тогда

Это включение может быть строгим, а правая часть может быть неаффинным многообразием.

Пример 14.6.4. Классы можно использовать вместо в теореме о базисе. Может случиться, что О для разбиения состоящего более чем из d ненулевых членов. Поэтому формулу Пьери для этих классов следует записывать в модифицированной форме леммы 14.5.2. Если то разницы нет, и если или

Пример 14.6.5. Существует канонический изоморфизм двойственности

при котором становится универсальным факторрасслоением над универсальным подрасслоением. Тогда

где сопряженное разбиение к В частности, если то

Пример 14.6.6 (ср. [Grothendieck 1], [Jouanolou 1]). Если X — неособое многообразие, векторное расслоение ранга над X, то алгебра над порожденная элементами по модулю соотношений

для (Надо взять где универсальные расслоения.)

Вообще, если расслоение флагов в с универсальным флагом то есть -алгебра, порожденная классами Чженя расслоений которые связаны соотношениями