10.4. Одна исчислительная задача

Типичная задача исчислительной геометрии (ср. [Schubert 1], § 1) состоит в нахождении числа геометрических фигур в данном семействе, удовлетворяющих определенным условиям. Обычно эти условия состоят в том, что наша фигура находится в определенном отношении с данной конфигурацией, находящейся в общем положении.

Пусть пространство параметров нашего семейства — неособое -мерное многообразие Фигуры, удовлетворяющие заданным условиям, образуют замкнутое подмножество в и даже гиперповерхность, если условие «простое». Задача тогда состоит в нахождении числа точек пересечения гиперповерхностей Однако прямо в таком виде эта задача теории пересечений встречается редко, потому что в рассчет берутся только невырожденные решения. Пространство параметров невырожденных решений обычно бывает некомпактным (неполным). Если же семейство компактифицировать до гиперповерхности могут пересекаться в множестве вырожденных решений и даже иметь избыточные компоненты.

Рассмотрим, например, задачу о числе плоских (неособых) коник, касающихся пяти данных прямых. Если коники параметризовать пространством то касающиеся данной прямой образуют квадратическую гиперповерхность. Все пять гиперповерхностей содержат поверхность Веронезе двойных прямых, вклад которой в пересечение равен 31. Теорема Безу предписывает 32 решения, и только одно соответствует неособой конике (ср. пример 9.1.8). Конечно, тот факт, что имеется лишь одна такая коника, можно легко получить из рассмотрения двойственной задачи.

Аналогично можно найти число коник, касающихся пяти данных коник. Коники, касающиеся данной коники, образуют гиперповерхность степени 6; вклад поверхности Веронезе равен 4512, остается эта и есть нужное число (ср. пример 9.1.9).

В общем случае бывает трудно прямо найти вклад избыточных вырожденных компонент. Например, плоские кривые степени d параметризуются проективным пространством размерности и при большом множество кривых с кратными компонентами образует довольно сложное особое многообразие.

Классический прием в таких задачах заключается в вырождении данных фигур в более простые, для которых интересующее нас число вычислить легче, и последующей аппеляции к принципу сохранения индекса. Конечно, для его применимости должны выполняться некоторые условия компактности. Один из методов состоит в построении более хорошей (неособой) компактификации пространства на которой пересечения собственные и соответствуют только невырожденным решениям. В примере с кониками такой компактификацией является пространство «полных коник» — раздутие вдоль поверхности Веронезе.

Пользуясь тонкими пересечениями и данным в § 10.2 вариантом принципа непрерывности, можно обойтись без построения такой

компактификации. Если вырождение заданных фигур параметризуется многообразием то важно чтобы пересечения соответствующих варьируемых гиперповерхностей образовывали схему собственную над Или в терминах компактификации компоненты лежащие в не должны пересекаться с компонентами лежащими в В этих случаях) согласно следствию 10.2.1, степень цикла пересечения варьируемых гиперповерхностей в не зависит от Конечно, если невырожденные решения приближаются к вырожденным решениям (из при изменении это перестает быть верным (ср. пример 10.2.2).

Проиллюстрируем эти идеи на примере решения следующей задачи:

Дано -мерное семейство плоских кривых и еще кривых в общем положении на плоскости. Сколько кривых из нашего семейства касаются этих данных кривых?

Решение. Пусть заданные кривые, степень класс (т. е. число прямых, проходящих через общую точку плоскости и касающихся А в простой точке). Если находятся в общем положении, число кривых нашего семейства, касающихся равно

Эта формула расшифровывается следующим образом. Разложим формально этот многочлен:

так что

После этого подставим вместо соответствующую характеристику семейства, т. е.

Например, если наше семейство состоит из всех коник, то (в характеристике, отличной от пример 10.4.3)

Поэтому число коник, касательных к равно

где такое же, как выше. Если все тоже неособые коники (и характеристика то и искомое число равно

При решении задачи будет предполагаться, что кривые не имеют кратных компонент и что основное поле алгебраически замкнуто и характеристики нуль. Доказательство разбивается на несколько шагов.

Шаг 1. Множество прямых в обозначаемое отождествляется с проективной плоскостью с однородными координатами точка соответствует прямой

Соответствие инцидентности

является неособым -мерным многообразием, заданным глобальным уравнением Если расслоение над определить из точной последовательности

то Пусть X (соотв. ) - обратный образ (соотв. ) на тогда

свободный -модуль с базисом

Это следует из изоморфизма (пример 8.3.4)

и формулы

Для прямой на положим

Для точки на положим

Тогда Отсюда видно также, что

Шаг 2. Пусть кривая на без кратных компонент. Определим (приведенную) кривую как замыкание множества

Если степень и класс то

где прямая, точка, как и выше. Это можно увидеть, пересекая с двойственным базисом группы Для общей прямой кривая пересекает трансверсально в точках где касаются это показывает, что коэффициент при равен Двойственные рассуждения дают коэффициент при (Тот факт, что пересечения трансверсальны, следует из приводимых ниже рассмотрений шага 3.)

Рациональная эквивалентность может быть построена явно. Выберем общую точку и общую прямую Пусть точки, где касательные к проходящие через пересекают

Проектируя из точки мы постепенно про деформируем и тем самым построим рациональную эквивалентность между и циклом

Можно считать, что и прямая Пусть уравнение для частные производные Для пусть автоморфизм пространства заданный посредством формулы

Тогда кривая задается уравнением Когда меняется в , мы получаем семейство кривых на Существует единственное расширение этого семейства до поверхности плоской над Мы утверждаем, что слой поверхности 3 над точкой есть кривая, цикл которой равен Чтобы проверить это, достаточно показать, что теоретикомножественно совпадает с объединением тогда предыдущее вычисление определяет коэффициенты. Если точка имеет вид где и

причем не все Р}(х, обращаются в нуль. Изображенное уравнение эквивалентно трем уравнениям

Теперь можно положить в этих уравнениях и получить Точка лежит на в двух случаях. Либо и тогда это точка из либо найдется такое, что и причем простая точка но это значит, что одна из точек так что наша точка лежит на (Особые точки также дают вклад в множество, задаваемое указанными выше уравнениями. Однако, так как только конечное число прямых, проходящих через особые точки, являются пределами касательных к близким неособым точкам, они не могут произвести кривых в

Шаг 3. Пусть семейство плоских кривых, плоское над 5, где неособое -мерное многообразие. Предположим, что общая кривая этого семейства не имеет кратных компонент. Пусть — любое непустое открытое подмножество в такое, что приведены для любых Например, если общая кривая семейства неособая, 5° может параметризовать неособые члены семейства.

Определим многообразие как локально замкнутое подмногообразие в взято

Многообразие гладкое размерности Пусть

— проекция.

Для заданных приведенных кривых на образуем расслоенный квадрат

Пусть произведение экземпляров группы автоморфизмов пространства Так как действует транзитивно на то для открытого множества автоморфизмов если заменить на диаграмма выше становится дифференциально трансверсальной (дополнение состоит из (приведенных)

точек. Более того, пусть произвольная компактификация семейства замыкание и пусть любое замкнутое подмножество в размерности, меньшей (содержащее ). Тогда

для открытого множества В частности, выбрасывание любого собственного замкнутого подмножества из не сказывается на числе решений

Шаг 4. Построим теперь вырождение каждой кривой А в кратную прямую, как в шаге 2, используя для каждой кривой свою общую точку и прямую. Произведение таких вырождений параметризуется пространством Мы имеем диаграмму

с расслоенным квадратом. Так как полно, собственно над Слои над конечны и разделены с любым заданным собственным замкнутым подмножеством если только А, точки и прямые взяты в общем положении. Поэтому если вырождения ограничить на открытую окрестность множества в то собственно над и не пересекается с Теперь в силу следствия 10.2

где слой над точкой 1 (соотв. 0). Слева стоит число касательных. Расписывая в соответствии с мы получаем справа требуемую формулу.

Нужно проверить еще одну вещь. Наше пересечение дает на самом деле число таких наборов

что касаются в точках Чтобы получить интересующее нас решение, мы должны проверить в условиях общего положения, что каждая точка может входить, самое большее, в один такой набор; все бикасательные можно поместить в собственное подмногообразие Аналогично проверяется, что те касательных, которые появляются в решении, являются простыми касательными к и

По поводу других подходов к этой задаче мы отсылаем к работам [Grayson 3| и [Fulton - Kleiman - MacPherson 1], ср. пример 14.7.18.

Пример 10.4.1. Класс неособой плоской кривой степени характеристике 0) равен пример 4.4.5). Число коник, касающихся пяти неособых кривых степени в общем положении, равно

Для это дает 3264. Если то тогда как для

Пример 10.4.2. Окружность на плоскости — это коника, проходящая через две «идеальные» точки Окружности образуют если точке сопоставить окружность с уравнением Окружности, касающиеся данной прямой, как и окружности, касающиеся данной окружности, образуют квадрику в Имеется 8 окружностей, касательных к трем заданным окружностям (в общем положении) или к двум окружностям и прямой, или к окружности и двум прямым. В то же время лишь 4 окружности касаются трех прямых в общем положении. (В последнем случае двойная прямая соответствует одной из точек пересечения трех квадрик, и кратность пересечения квадрик в этой точке равна 4.)

Число окружностей, касающихся трех кривых степеней и классов в общем положении, равно

где

Когда три заданные кривые вещественны, наш анализ не позволяет сказать, сколько вещественных окружностей удовлетворяет условиям касания. Для прямых и окружностей в различных положениях это число легко найти, и приведенные выше числа появляются при подходящих вещественных конфигурациях. В общем случае нахождение числа вещественных решений исчислительных задач представляется очень трудным.

Пример 10.4.3. В характеристике два класс неособой коники равен

1. Характеристики семейства всех плоских коник в характеристике два равны

Число коник, касающихся пяти данных коник, в характеристике два равно

(ср. пример 9.1.9 и [Vainsencher 33).

Пример 10.4.4 (ср. пример 14.7.18 и [Fulton - Kleiman - MacPherson 1]). Анализ, проведенный в этом разделе, может быть расширен для нахождения числа многообразий в -мерном семействе многообразий в которые касаются заданных многообразий в общем положении в Например, если дано -мерное семейство кривых в то количество кривых, касающихся данных поверхностей в общем положении, равно

Здесь степень поверхности, ее первый класс (т. е. число точек в общем плоском сечении, касательные плоскости к которым проходят через общую фиксированную точку) и характеристика это число кривых в семействе, пересекающих общих прямых и касающихся общих плоскостей. Для семейства всех (плоских) коник в эти характеристики были найдены Шалем, ср. [Schubert 1], § 20:

Поэтому число коник, касающихся 8 общих квадратических поверхностей, равно

Аналогично имеется квадрик в касающихся девяти заданных в общем положении квадрик.

Метод вычисления характеристик для семейства всех квадрик размерности был дан в статье [Schubert 4] на основе красивой геометрии полных квадрик. Он вновь был рассмотрен в работах [Semple 1] и и недавно Демазюром, Вайнзенхером, де Кончини и Прочезе.