10.2. Сохранение индекса

Следующее утверждение лежит в основе принципа непрерывности.

Предложение 10.2. Пусть собственный морфизм и есть -мерное многообразие, как в § 10.1. Пусть а — некоторый -цикл на Тогда классы циклов имеют одну и ту же степень.

Заметим, что при вычислении мы рассматриваем как схему над если индуцированный морфизм из то

Доказательство. Пусть Тогда по предложению 10.1

Поэтому для любого имеем

Мы уже видели в предложении 10.1, что основные операции пересечения сохраняют семейства классов циклов. Вместе с предложением 10.2 это дает следующее: если мы проделали несколько таких операций с семействами циклов и в результате получили семейство -циклов, носитель которого является собственным над то степень этих -циклов постоянна в семействе. Следующая теорема достаточна для большинства применений.

Теорема 10.2. Пусть — регулярное вложение коразмерности плоский морфизм, причем тоже плоский.

Пусть морфизм; образуем расслоенный квадрат

Предположим, что собственна над Тогда для любого -цикла а на степень класса -циклов

не зависит от Вообще, если многочлен веса от классов Чженя набора векторных расслоений на обозначает тот же многочлен от классов Чженя ограничения этих расслоений

на то для любого -цикла на

не зависит от

Доказательство. Согласно предложению

Поэтому утверждение следует из предложения 10.2.

Следствие 10.2.1. Пусть — схема и эффективные дивизоры Картье, плоские над Пусть а есть d-цикл на У! Предположим, что

собственно над Тогда

не зависит от

Доказательство. Применим теорему 10.2 к ситуации

где диагональное вложение и

Следствие 10.2.2. Пусть неособое n-мерное многообразие. Пусть суть -циклы на такие, что и предположим, что собственно над Тогда

не зависит от

Доказательство. Применим теорему к ситуации

где диагональное вложение и

Пример 10.2.1. Пусть регулярное вложение коразмерности подсхема, причем плоские над Предположим, что существует непустое открытое подмножество такое, что собственно пересекает для всех

Для любого представлен неотрицательным циклом. (Так как собственно пересекает то представлен неотрицательным циклом. Используем теперь предложение и пример 10.1.8.)

(b) Предположим, что собственно над Пусть для Тогда для любого либо имеет положительную размерность, либо является конечным множеством, содержащим элементов. -эффективный -цикл с носителем Если конечно, то эффективный цикл степени с носителем

На самом деле (b) есть следствие более общего утверждения. Предположим, что основное поле алгебраически замкнуто, что и схема Хот делим а над Пусть такое целое число, что состоит не более чем из точек для всех Тогда, если конечно, оно состоит также не более чем из элементов. (Главный момент состоит в том, что каждая неприводимая компонента пересечения имеет размерность не меньше Затем надо свести все к случаю, когда неособая кривая и каждая компонента кривая, доминирующая . В этом случае элементарно доказывается, что число точек в не превышает сепарабельной степени расширения См. [EGA], IV.15.5 по поводу обобщений.)

Как и в следствии 10.2.2, аналогичные результаты верны для семейств пересечений равноразмерных схем на неособом многообразии.

Пример 10.2.2. Пусть четыре общих прямых в точка в не лежащая на Если не лежит ни на одной из трех диагональных прямых, соединяющих попарные пересечения этих четырех прямых, то через проходят ровно две неособые коники, касающиеся всех прямых Если лежит на одной диагонали, имеется одна такая коника. Если лежит на двух диагоналях, таких коник нет.

Пусть гиперплоскость коник, касательных к гиперплоскость коник, проходящих через Для общей точки пересечение состоит из кривой Веронезе двойных прямых (вклад ее в пересечение равен пример 9.1.8) и еще двух точек, в которых поверхности пересекаются трансверсально. Когда точка стремится к одной (или к двум) диагонали, одна (или две) из этих точек стремится к кривой Веронезе.

В таких ситуациях геометры-классики добивались сохранения индекса тем, что принимали в расчет также и предельные решения; здесь одна (или две) удвоенная диагональ также должна была учитываться как коника. Так как из постановки исчислительной задачи не всегда очевидно, какие вырожденные решения должны рассматриваться как «предельные», этот принцип вызывал споры.

Если в качестве объемлющего пространства берется открытое подпространство в соответствующее неособым коникам, то пересечение пяти указанных гиперповерхностей, когда точка меняется, не является собственным над Для справедливости теоремы 10.2 необходимо, чтобы «схема пересечения» была собственна над пространством параметров

Пример 10.2.3 (ср. [Study 1]). Над алгебраически замкнутым полем отождествим, как обычно, четверки точек на дивизор соответствует точке если Пусть открытое множество в состоящее из четверок различных точек. Множество автоморфизмов отождествим с открытым подмножеством в автоморфизм с матрицей соответствует точке . Пусть

Тогда — замкнутое алгебраическое подмножество в и для открытого множества имеет четыре различные точки. Однако если соответствует четверке с двойным отношением - 1 (соотв. нетривиальным кубическим корнем из 1), то имеет 8 (соотв. 12) точек (ср. [Semple - Roth 1], XI.6).

Это не противоречит принципу непрерывности, потому что не может возникнуть как собственное пересечение; локально определяется четырьмя уравнениями и имеет компоненты как размерности 3, так и 4.

Пример 10.2.4. Пусть конус с вершиной Пусть V — прямая Пусть с координатой семейство дивизоров Картье Общая кривая неособая кривая, пересекающая V трансверсально в одной точке, тогда как объединение двух прямых, каждая из которых пересекает V в точек По следствию 10.2.2 такое явление не может произойти на неособом многообразии Заметим, что в

этом примере произведение-пересечение прямой V с дивизором Картье равно

Пример 10.2.5 (ср. Пусть конус семейство прямых, задаваемых уравнениями

где координата на Пусть плоскость Тогда для общей точки и разделены, тогда как пересекает V в вершине конуса. Снова такой скачок возможен только в особых точках.

Пример 10.2.6. Пусть с координатой и, и пусть Пусть семейство прямых

Пусть прямая Классы все равны, когда меняется в Однако нормальные конусы к а также отмеченные многообразия для изменяются разрывно, как это происходит, когда собственные пересечения вырождаются в несобственные. Такие явления изучаются в гл. 11.

Пример 10.2.7. В теореме 10.2 пусть связные компоненты Пусть а есть -цикл на У, и пусть

где Для любого такого, что собственная над не зависит от (Запишем тогда

Пример 10.2.8 («компактные носители»). Для любой схемы X положим

где предел берется по всем замкнутым подсхемам , которые полные. Если X — полное многообразие, то Для любого морфизма существует индуцированный гомоморфизм

который функториален. В частности, отображая X в точку, можно определить степень любого элемента из

Кроме того, имеются функториальные отображения Гизина

для морфизмов которые или собственные и плоские, или л.п.п. и проективные. Классы Чженя векторных расслоений на X действуют на Если неособо и морфизм, имеются -произведения . В случае когда X — гладкая часть неособого многообразия, такие группы изучались в работе [Collino 2].

Пример 10.2.9. Пусть схема, регулярные вложения коразмерности причем 8% плоски над Пусть морфизм и Пусть а есть -цикл на Тогда существует -цикл на такой, что

для всех Если многочлен степени от классов Чженя векторных расслоений над с ограничениями на собственно над то

не зависит от