Глава 19. Алгебраическая, гомологическая и численная эквивалентности

Резюме

Каждое -мерное комплексное многообразие V имеет класс цикла где обозначает гомологии с локально конечными носителями (гомологии Бореля — Мура). Если V — подмногообразие -мерного комплексного многообразия X, то Возникающий гомоморфизм из циклов в гомологии согласован с алгебраической эквивалентностью. Это дает, в частности, отображение цикла

для комплексных схем X, ковариантное для собственных морфизмов и согласованное с классами Чженя векторных расслоений.

Пусть теперь подмногообразия размерностей в неособом -мерном многообразии Строится тонкое топологическое произведение-пересечение Если двойственный к класс в и аналогично двойственный к класс в то определяется как класс, двойственный к

Мы показываем, что отображение цикла переводит тонкое пересечение из гл. 8 в класс В частности, является кольцевым гомоморфизмом из в Вообще, если регулярное вложение коразмерности то классы циклов утонченных произведений из гл. 6 даются умножением на класс ориентации

В последнем параграфе мы обсуждаем известные факты об алгебраической, гомологической и численной эквивалентностях на неособых проективных многообразиях. Упоминаются только несколько наиболее ярких фактов, которые прямо связаны с другими главами; включены лишь некоторые доказательства. Вместе с примерами это может послужить введением в литературу по трансцендентной теории алгебраических циклов.

Соглашения. Если не оговорено особо, все схемы в этой главе предполагаются комплексными алгебраическими схемами, обладающими замкнутым вложением в некоторое неособое комплексное многообразие. Все топологические пространства будут локально компактными отделимыми пространствами, обладающими замкнутыми вложениями в некоторое евклидово пространство. Как и в предыдущих главах, -цикл на X есть формальная сумма алгебраических подмногообразий схемы