Глава 2. Дивизоры

Резюме

Пусть дивизор Картье на схеме некоторый -цикл на Строится класс пересечения

где носители Если где V — подмногообразие, то определяется одним из двух способов: (i) если то ограничивается до дивизора Картье на V и в качестве берется соответствующий дивизор Вейля этого ограничения; (ii) если то ограничение линейного пучка на V является линейным пучком дивизора Картье на V, определенного с точностью до линейной эквивалентности, и представляется дивизором Вейля любого такого дивизора Картье.

Мы доказываем, что если а рационально эквивалентен нулю на X, то равен нулю в Тем самым возникает гомоморфизм

В важном частном случае, когда слой морфизма X в гладкую кривую, а есть специализация а. В этом случае (а также когда главный дивизор) а можно определить как цикл, полагая при Приведенный выше факт включает утверждение о сохранении рациональной эквивалентности при специализации.

Пусть теперь дивизоры Картье на схеме X и а — некоторый -цикл на Решающим свойством оказывается закон коммутативности

от Рассмотрим, например, случай, когда морфизм, прообразы двух осей. Тогда цикл можно сначала специализировать на прообраз х-оси, а затем получившийся цихл специализировать на а можно сначала

специализировать на прообраз у-оси, а затем на слой над 0. Полученные двумя способами циклы могут быть разными, но они всегда рационально эквивалентны.

Оба приведенных выше факта следуют из тождества (теорема 2.4)

для дивизоров Картье на -мерном многообразии X, где связанные с ними дивизоры Вейля.

Дивизор Картье на схеме X определяет линейное расслоение и тривиализацию над Только линейное расслоение, носитель и тривиализация нужны для построения указанного выше пересечения. Это формализуется понятием псевдодивизора (§ 2.2); дополнительное преимущество псевдодивизоров перед дивизорами Картье состоит в том, что их прообраз определен для любых морфизмов.

Пересечения с дивизорами используются для построения гомоморфизмов для линейного расслоения над X, а также для построения гомоморфизмов Гизина

где вложение эффективного дивизора Картье В следующих главах эти операции обобщаются на более высокие коразмерности.