12.4. Кратности пересечений

Пусть равноразмерные подсхемы неособого многообразия X с Класс пересечения строится из диаграммы

Предположим, что изолированная точка из V,, рациональная над основным полем. Индекс пересечения это коэффициент при в классе Уменьшая X, если нужно, мы предполагаем, что пересекаются только в

Пусть раздутие его исключительный дивизор, индуцированное отображение; проективное пространство над полем подмногообразий и циклов на вычисляются, как на Пусть раздутие Исключительный дивизор его равен где касательный конус к в Пусть кратность в (§ 4.3). Заметим, что

Теорема 12.4. (а) В предыдущих обозначениях

(b) Существуют многообразия объединение которых равно и положительные -циклы на и положительные целые числа удовлетворяющие условиям

(2) для любого которое является изолированной точкой в

Следствие 12.4. В обозначениях теоремы

Член не меньше, чем сумма степеней неприводимых компонент В частности,

и равенство достигается тогда и только тогда, когда

Доказательство теоремы. (Другое доказательство намечено в примере 12.4.6.) Доказательство использует деформацию к нормальному конусу (§ 5). Пусть (соотв. ) - раздутие (соотв. ) вдоль Исключительный дивизор этого раздутия обозначим через X (соотв. так что Мы получаем диаграмму замкнутых вложений

где вложение над точкой к — канонические вложения в и к являются вложениями неособых дивизоров Картье в Мы имеем равенства циклов

Для пусть вложение индуцированное Используя тонкую формулу проекции (предложение 8.1.1(c)), получаем

в Аналогично, если (соотв. вложение

Основное тождество деформации имеет вид (ср. пример 5.1.1)

в Подстановка его в предыдущие три равенства дает

в Проекции индуцируют собственный морфизм Нужная формула (а) получается применением к последнему равенству. В самом деле, имеет степень на по определению кратности. По теореме Безу представляется -циклом степени на

Теперь перейдем к К сожалению, нормальное расслоение к диагональному вложению : не обильно (см. пример 12.4.7). Мы найдем другое пересечение, дающее тот же класс, но уже имеющее обильное нормальное расслоение. Для простоты обозначений мы будем считать, что ; при годится то же доказательство, надо только двукратное декартово произведение заменить соответствующим -кратным, т. е. на Рассмотрим диаграмму

Здесь раздутие вдоль раздутие вдоль Так как локально главное, разлагается в как показано на диаграмме. Уменьшая, если необходимо, X, можно считать его аффинным, а его касательное расслоение, т. е. нормальное расслоение к тривиальным.

Так как пересекает по которое регулярно вложено в с коразмерностью, равной коразмерности вложения , то Согласно простому случаю формулы раздутия (ср. следствие 6.7.2),

Так как (теорема 6.5), то

Нам нужна также формула для нормального расслоения к :

которую мы обсудим после завершения доказательства Так как расслоение тривиально и

ограничивается до на теорема 12.2(b) применима к диаграмме пересечения

Она дает каноническое разложение и отмеченные многообразия удовлетворяющие (1) и (2) утверждения (b). Хотя мы не можем утверждать, что это есть каноническое разложение для пересечения с диагональю в следует из того факта, что оба класса равны в

Остается проверить (iii). Пусть исключительный дивизор в для отображения Пусть композиция Мы утверждаем, что вкладывает X как остаточную схему к Иначе говоря, их пучки идеалов связаны соотношением

Равенство (iii) следует из (iv) по построению нормальных расслоений (ср. пример 9.2.2). Равенство (iv) можно проверить непосредственно вычислениями в локальных координатах. Более концептуально можно рассуждать так. Пусть раздутие вдоль с исключительным дивизором Существует коммутативная диаграмма бирациональных морфизмов

и у — изоморфизм в окрестности Равенство (iv) получается теперь как обратный образ при у соответствующего равенства на

Эта последняя формула выражает тот факт, что есть собственный прообраз (дополнение В.6.10).

Замечание 12.4. Для пересечения дивизоров, даже на особом многообразии, аналогичная теорема доказывается более просто в примере 12.4.8.

Пример 12.4.1. Частным случаем следствия 12.4 является критерий единичной кратности (предложение 8.2(c)):

1, и равенство выполняется тогда и только тогда, когда К неособы и трансверсально пересекаются в

Пример 12.4.2. Если кривые на поверхности X, то кривые собственно пересекаются на и процесс можно продолжать. Получается формула Нётера ([Noether М. 2])

где сумма берется по всем бесконечно близким точкам поверхности

Пример 12.4.3. Многообразия могут пересекаться несобственно, даже если пересекались собственно. Пусть Тогда и собственно пересекаются в начале координат но прямая В этом примере представляется -циклом степени 5 на

Пример 12.4.4. Формула (а) теоремы 12.4 (и ее доказательство) допускает следующее обобщение:

Пусть равно размерные подсхемы неособого многообразия причем

Пусть неособое подмногообразие в раздутие X вдоль Пусть отображение, индуцированное Пусть проекция Пусть раздутие вдоль и пусть есть Тогда

Если неприводимая компонента размерности то приравнивание коэффициентов при в этом равенстве дает формулу для индекса пересечения Если имеет размерность то

коэффициент при

Пример 12.4.5 (ср. [Samuel 2], II, § 6.2b). Пусть V — подмногообразие в где аффинное или проективное пространство над алгебраически замкнутым полем, и подмногообразие в Тогда

где минимум берется по всем подмногообразиям таким, что собственная компонента (Возьмем в качестве X пересечение гиперповерхностей так, чтобы не имело неприводимых компонент, отображающихся на Если точка, можно рассматривать только линейные пространства, проходящие через

(b) тогда и только тогда, когда не содержится в особом подмножестве многообразия

Пример 12.4.6. Пусть регулярное вложение схем коразмерности подмногообразие размерности к, и предположим, что имеет только одну неприводимую компоненту размерности к — d. Предположим, что вложение также регулярно. Пусть обозначает раздутие вдоль Пусть исключительный дивизор в V, а : проекция. Тогда

(Применим теорему 9.2 к диаграмме остаточного пересечения

Это дает Первый член равен

Согласно примеру 9.2.2 или §17.

Эта общая формула влечет за собой теорему (Возьмем Надо использовать пример 4.3.10 для вычисления первого члена и рассуждать, как в конце доказательства теоремы для интерпретации второго.)

Пример 12.4.7. Нормальное расслоение к диагональному вложению X в касательное расслоение не ограничивается до обильного расслоения над Имеется точная последовательность

и на Нормальный конус вдоль является замкнутой подсхемой в Если мы знаем, что неприводимые компоненты С, конуса С пересекают собственно, можно вывести положительность соответствующих вкладов из обильности , это усиливает теоремы. С другой стороны, если , его пересечение с нулевым сечением в может быть строго отрицательным.

Пример 12.4.8. Кратности пересечений для дивизоров. Для эффективных дивизоров на -мерном многообразии X класс пересечения есть класс, построенный по диаграмме

как в § 6.1. Другим способом этот класс можно построить индуктивно:

используя простое описание из § 2.3 (ср. пример 6.5.1).

Предположим, что изолированная точка пересечения дивизоров на Кратность пересечения это коэффициент при в классе Уменьшая X, мы будем предполагать единственной точкой Пусть раздутие его исключительный дивизор и отображение, индуцированное Будем рассматривать как алгебраическую схему над полем вычетов Расслоение обильное линейное расслоение над которое мы и будем использовать для вычисления степеней циклов и подмногообразий в

Теорема. Пусть для некоторого положительного целого и эффективного дивизора на X Тогда

Пусть каноническое разложение пересечения на отмеченные многообразия. Тогда для

Следствие. В обозначениях теоремы

В частности,

и равенство достигается только при

(Для доказательства (а) надо записать разложить и использовать формулу проекции для вычисления замечая, что по § 4.3. Утверждение (b) следует из теоремы и обильности ограничения на Мы отсылаем к работе [Fulton - Lazarsfeld 4] за деталями.)

Эта теорема обобщается на собственные пересечения d дивизоров на многообразии размерности в основном, как в примере 12.4.4.

Последнее неравенство следствия 12.4 можно вывести из предыдущего следствия, записывая диагональ как пересечение дивизоров в окрестности

Пример 12.4.9. В ситуации предыдущего примера пусть А — локальное кольцо многообразия максимальный идеал локальное уравнение для А - в точке В качестве целых чисел естественно выбрать наибольшие целые числа, для которых В этом случае неравенство

можно также вывести алгебраически из формулы Леха ([Lech 1]), приведенной в разд. «Замечания и литература» гл. 7. Пусть класс вычетов Тогда равенство в имеет место в точности в том случае, когда Если кольцо Коэна — Маколея например если А регулярно, — последнее эквивалентно тому, образуют регулярную последовательность. Заметим, что левая сторона кратность «и (пример 7.1.2).

Однако, если особая точка на X, условиям теоремы могут удовлетворять и большие С другой стороны, если выбирать не максимальным, может содержать исключительный дивизор Заметим, что для общих дивизоров, содержащих степень класса пересечения может быть отрицательной.

Пример 12.4.10. Пусть неособые подмногообразия неособого многообразия пересекающиеся собственно в точке Предположим, что Тогда

где (Запишем X как пересечение d дивизоров вблизи Эти дивизоры пересекают V по дивизорам особым в точке Тогда