20.1. Схемы над регулярной базисной схемой

В этом разделе обозначает произвольную регулярную схему, т. е. нётерова схема, все локальные кольца которой регулярны. Остальные схемы X будут схемами над конечного типа и отделимыми. Никаких предположений об основном поле теперь не делается; в частности, может иметь вид где А — либо (i) кольцо целых в числовом поле или любая децекиндова область, либо (ii) кольцо целых -адических чисел или любое кольцо дискретного нормирования, либо (iii) любое регулярное кольцо.

Введем понятие относительной размерности схемы над обладающее многими свойствами абсолютной размерности над базисным полем. Пусть схема над замкнутая целостная подсхема в Положим

где замыкание поля функций. Если общая точка то

Заметим, что в случае, когда алгебраическая схема над полем,

Лемма 20.1. (1) Если открытая непустая подсхема в V, то

(2) Если замкнутая целостная подсхема в V, то

(3) Если доминантный морфизм целостных схем над

В частности, и равенство достигается тогда и только тогда, когда конечно над

Доказательство. Утверждения (1) и (3) непосредственно следуют из определений. пусть замыкания образов в Так как универсально цепная, мы имеем формулу размерности ([EGA], IY.5.6.5)

которая эквивалентна (2).

Пользуясь этим относительным понятием размерности, можно определить -цикл на схеме X (как и в § 1.3) как формальную сумму где замкнутые целостные подсхемы в X с

Понятие рациональной эквивалентности определяется, как в § 1.3. Обозначим через или группу классов рациональной эквивалентности -циклов. Заметим, что группа не зависит от от зависит только градуировка этой группы.

Для имеет место ковариантность для собственных морфизмов, контравариантность для плоских морфизмов (некоторой относительной размерности) и точная последовательность из § 1.8. (При доказательстве предложения нужно привлекать Другое определение (§ 1.6) также годится, если пользоваться вместо Однако в общем случае внешние произведения (как в § 1.10) отсутствуют, так как подмногообразия схемы X могут быть неплоскими над

При таком понимании остальной материал гл. 2—6 переносится без существенных изменений. Как говорилось выше, нужно заменить а также исключить упоминания о внешних произведениях. Параграф 7.1 также проходит, но § 7.2, где используется конечность нормализации, — нет.

В частности, имеются операторы класса Чженя

для векторного расслоения над X и тонкие гомоморфизмы Гизина

где (разложимый) л.п.п. морфизм коразмерности произвольный морфизм, обладающие фундаментальными свойствами из гл. 3 и 6. Если гладкая над схема относительной размерности то диагональное вложение регулярно и есть гомоморфизмы Гизина

Однако отсутствие внешних произведений не позволяет определить произведение любых классов циклов на (ср. пример 20.1.1).

Теорема об остаточных пересечениях обобщается без изменений. Многие другие результаты гл. 9—13 имеют аналоги в такой общности; мы оставляем их заинтересованному читателю. Формулы для множеств вырождения из гл. 14 обобщаются без изменений. Кроме того, в этой общности остаются верными теоремы Римана — Роха из

гл. 15 и 18 с теми же доказательствами. В частности, это дает изоморфизмы

где строится по фильтрации использующей относительную размерность над

Определение и формализм бивариантной теории гл. 17 распространяется на схемы над 5; нужно только опустить предложение 17.3.1 и следствие 17.4, где встречаются внешние произведения. В частности, мы получаем контравариантный функтор А из схем над в кольца.

Пример 20.1.1. (а) Пусть гладкий морфизм относительной размерности Тогда в обозначениях гл. 17

Для любого морфизма

(b) Пусть замкнутая подсхема в плоская над и относительной размерности Тогда V определяет элемент следовательно, класс в если такое же, как в (а). В частности, определяет гомоморфизмы

для любого (Для доказательства пп. (а) и (b) см. предложение 17.4.2.)

(c) Если гладкая над основным полем, то канонический гомоморфизм изоморфизм. С другой стороны, если известно, чтог это изоморфизм и гладко над то имеет произведения-пересечения (ср. пример 20.2.3).

Пример 20.1.2. Пусть морфизм гладких -схем относительной размерности пит над Тогда имеется обратный образ

определенный как композиция Здесь —график (плоская) проекция (для этого нужно только, чтобы X была плоской над Конструкция класса двойных точек и доказательство формулы двойных точек из § 9.3 обобщаются без существенных изменений на эту ситуацию.

Пример 20.1.3. Для произвольной нётеровой схемы X обозначим через свободную абелеву группу, порожденную подмногообразиями

(замкнутыми целостными подсхемами) Для пусть где суммирование производится по всем подмногообразиям с V коразмерности 1. Определим как где обозначает подгруппу, порожденную всеми такими Если собственный морфизм, определим как

Здесь если это число конечно, и в противном случае. пропускается через рациональную эквивалентность, превращая А. в ковариантный функтор для собственных морфизмов. Аналогично, А. контравариантен для плоских морфизмов.

Используя бесконечные локально конечные циклы (т. е. такие, что любая точка имеет окрестность пересекающуюся лишь с конечным числом многообразий V, таких, что определение можно распространить на произвольные локально нётеровы схемы.

Если X локально конечного типа над универсально цепной базисной схемой определение относительной размерности, данное в этом разделе, определяет градуировку на Мы не знаем, верна ли теорема Римана — Роха в такой общности.

Пример 20.1.4. Предыдущая конструкция применима, в частности, в случае, когда локальное нётерово кольцо. Пусть локальное кольцо многообразия в точке у; тогда можно назвать локальной группой Чжоу в у. Эквивалентно, где предел берется по всем открытым подсхемам содержащим точку у. Случай, когда конус с вершиной у над гладким проективным многообразием, обсуждается Гротендиком в

Если регулярное локальное кольцо, из теоремы Римана — Роха следует, что порождается

Близкая, но иная конструкция рациональной эквивалентности для колец Коэна — Маколея исследуется в работе [Clabom - Fossum 1].

Пример 20.1.5. Если пользоваться обычной размерностью целостных схем, ни одно из трех утверждений леммы 20.1 не верно. Однако при желании читатель может заменить на тогда в § 20.3 специализация будет менять размерность классов циклов. В случае собственной схемы X над понятие относительной размерности изучалось в [SGA 6], Exp. V.