Глава 14. Множества вырождения и грассманианы

Резюме

Пусть гомоморфизм векторных расслоений рангов над многообразием Множество вырождения

если оно непусто, имеет коразмерность в Мы строим класс

образ которого в дается формулой Тома — Портеуса:

Здесь обозначает определитель -матрицы Если и X неособо и вообще если выполнено подходящее условие глубины, то есть -цикл, определяемый естественной структурой схемы на Вообще образование коммутирует с другими операциями пересечения. Эти свойства определяют в случае

Пусть флаг подрасслоений расслоения Обозначим его Тогда детерминантальным множеством называется

Аналогично имеются классы образы которых в даются некоторыми определителями от классов Чженя. Если формула имеет вид

где многочлен Шура

Частным случаем множества вырождения является множество нулей сечения векторного расслоения. В этом случае класс вырождения локализует старший класс Чженя рассматриваемого расслоения (§ 14.1). Построение общих вырождений сводится к случаю сечений расслоений на грассманианах; доказательство формул требует некоторых вычислений Гизина (§ 14.2).

Формальные тождества между многочленами Шура дают формулы для пересечения детерминантальных классов. При применении к грассмановым расслоениям эти формулы приводят к обобщениям классических формул исчисления Шуберта: теоремы о базисе, двойственности, формул Пьери и Джамбелли.

Обозначения. Слой векторного расслоения над схемой X в точке обозначается это векторное пространство над полем Если гомоморфизм векторных расслоений, то обозначает индуцированный гомоморфизм внешних степеней.

Если гомоморфизм векторных расслоений над схемой X, то его схема нулей обозначается На открытом аффинном множестве где тривиальны, а задается матрицей из элементов координатного кольца которые порождают идеал на В частности, если — сечение расслоения т. е. гомоморфизм тривиального линейного расслоения в то схема его нулей обозначается (ср. дополнение

Более общо, для неотрицательного целого к определим множество вырождения

Второе описание дает схемную структуру для локально ее идеал порождается -минорами матрицы а.

Пусть флаг подрасслоений расслоения Е:

Для заданного положим

Здесь ограничение а на ранг Второе описание определяет структуру схемы на этом множестве.

Для векторных расслоений на X положим

и пусть член степени в этом разложении.

Если целые числа и формальные суммы где имеют степень положим

Если обозначим это выражение через или так что Если, кроме того, то мы пишем