В.3. Векторные расслоения

В.3.1. Векторным расслоением ранга над схемой X называется схема снабженная морфизмом удовлетворяющим следующему условию. Должны существовать открытое покрытие схемы X и изоморфизмы

над такие, что над композиции линейны, т. е. задаются морфизмами Эти функции перехода удовлетворяют соотношениям Обратно, такие функции перехода определяют векторное расслоение. Данные определяют изоморфное расслоение, если все композиции линейны на

Сечением расслоения называется морфизм такой, что Если задано функциями перехода то его сечение определяется набором морфизмов таких, что

на Пучок сечений расслоения является локально свободным пучком -модулей ранга Обратно, локально свободный пучок (постоянного ранга) всегда возникает описанным способом из некоторого векторного расслоения единственного с точностью до

изоморфизма. Это можно увидеть с помощью функций перехода. Пусть аффинное открытое множество с координатным кольцом тогда открытое аффинное множество в координатным кольцом которого является симметрическая алгебра являющегося пространством сечений пучка

Если — сечение расслоения его схемой нулей называется следующая подсхема в Пусть локально сечение задается отображениями где принадлежат координатному кольцу тогда на подсхема задается идеалом, порожденным

Для векторных расслоений имеется несколько основных операций, согласованных с соответствующими понятиями для пучков: прямая сумма тензорное произведение внешняя степень симметрическая степень или двойственное расслоение обратный образ для морфизма Тривиальное расслоение ранга 1 обозначается через 1 или 0.

Гомоморфизм векторных расслоений соответствует гомоморфизму соответствующих локально свободных пучков. Задание такого гомоморфизма эквивалентно заданию сечения расслоения Последовательность

гомоморфизмов векторных расслоений называется комплексом, если для всех Комплекс точен в точке если соответствующий комплекс пучков точен в эквивалентно можно сказать, что комплекс векторных пространств над полем вычетов точен.

Если конечномерное пространство сечений векторного расслоения над X, то имеется канонический гомоморфизм из тривиального расслоения Сечения порождают если этот гомоморфизм сюръективен.

В.3.4. Каждое сечение расслоения порождает комплекс Кошуля

точный на Для соответствующего пучка 4? образом гомоморфизма является пучок идеалов подсхемы и мы получаем комплекс пучков на X

при помощи глобализации конструкции из дополнения А.5.

Если последняя последовательность точна, то 5 называется регулярным сечением расслоения Если и тривиализовано вблизи так что 5 задается последовательностью то точен в в том и только том случае, если образуют регулярную последовательность элементов кольца (дополнения А.5, А.6).

Обычно мы отождествляем векторное расслоение с локально свободным пучком его сечений, если нет особых причин различать их.

В.3.5. Линейное расслоение — векторное расслоение ранга один.

Для целого линейное расслоение определяется как -кратное тензорное произведение при и как -кратное тензорное произведение при при это тривиальное линейное расслоение.

В.3.6. При изучении векторных расслоений мы ничего не потеряем, предполагая базу X связной. Условие, что векторное расслоение имеет ранг над X, эквивалентно тому, что оно имеет ранг над каждой связной компонентой Иногда удобно допускать, чтобы ранг векторного расслоения или локально свободного пучка менялся от компоненты к компоненте; по существу это ничего не меняет.