19.2. Алгебраические и топологические пересечения

Каждое регулярное (замкнутое) вложение коразмерности d имеет класс ориентации

Мы опишем этот класс в трех важных случаях, достаточных для большинства приложений, и затем дадим общую конструкцию:

(i) Пусть векторное расслоение над нулевое вложение; тогда их, класс Тома расслоения

(ii) Если неособые, класс определен в § 19.1.

(iii) Пусть векторное расслоение ранга d над сечение такое, что X есть схема нулей Тогда их, где класс Тома расслоения

(iv) В общем случае выберем векторное расслоение ранга над и сечение расслоения такие, что X есть схема нулей (дополнение Нормальное расслоение к является подрасслоением ограничения расслоения на Выберем (классическую) окрестность V многообразия и комплексное топологическое подрасслоение у, такое, что Пусть — фактор-расслоение расслоения по сечение индуцированное Уменьшая, если нужно, V, можно считать, что отображает пару в где — нулевое сечение Пусть и — класс Тома Положим теперь

Можно проверить ([Baum - Fulton - MacPherson 1], IV.4), что этот класс не зависит от произведенных выборов и согласован с определениями в

Лемма Рассмотрим расслоенный квадрат

где регулярные вложения коразмерности d. Тогда

(b) Если в регулярные вложения коразмерности то

(c) Пусть неособая связная кривая, X — схема и вложение Тогда для любого а

не зависит от

(d) Пусть нулевое сечение векторного расслоения ранга d над Тогда для любого -цикла а на

Доказательство. Свойства (а), (b) и (с) следуют сразу из конструкции классов ориентации. Что касается то в силу теоремы можно предположить, что где V — подмногообразие в проекция Используя (а), можно предположить, что Нужная формула принимает тогда вид адпрдг Проверить ее можно, ограничиваясь неособым открытым подмножеством в в этом случае достаточно равенства (9) § 19.1.

Теорема 19.2. Рассмотрим расслоенный квадрат

где регулярное вложение коразмерности d. Тогда для любого -цикла а на

Здесь класс в построенный в §6.2.

Доказательство. Можно считать, что многообразие. Построим, как в § 5.1, диаграмму деформации к нормальному расслоению схемы X в

Здесь раздутие вдоль с выброшенным собственным прообразом слоя Разлагая на замкнутое вложение и гладкий морфизм, можно свести все к случаю замкнутого вложения Тогда подмногообразие в вложенное морфизмом По лемме 19.1.3

где нормальный конус к По лемме 19.2(b) и равенству (8) § 19.1

По лемме 19.2(c) в последнем выражении можно заменить на Обращая рассуждения, получаем

где вложение По лемме 19.2(d)

Это завершает доказательство, так как по определению есть

Пусть у есть -цикл на -мерном неособом многообразии с носителем Определим

как такой класс, что (ср. равенство (3) § 19.1). Если морфизм, X — схема и некоторый -цикл на X, то в § 8.1 был построен тонкий класс пересечения где

Предложение 19.2. Пусть морфизм индуцированный Тогда

Доказательство. Заметим, что так что -произведение справа лежит в Как обычно, можно предполагать, что где многообразие, так что Применим теорему 19.2 к расслоенному квадрату

где у — график вложение. Это дает

Если теперь проекция в то

В силу коммутативности четномерных когомологий и равенства (8) из

последнее равенство справедливо снова по теореме 19.2. Соединяя написанные равенства, получаем нужное утверждение.

Пусть X — фиксированное неособое -мерное многообразие, подмногообразия размерности В § 8.1 было построено произведение Соответствующий топологический тонкий класс определяется так. Поскольку

то Положим

(ср. пример 19.1.10).

Следствие 19.2. (а) В этих обозначениях

(b) Отображение является гомоморфизмом градуированных колец, ковариантным для морфизмов неособых многообразий.

Доказательство. применим предложение 19.2 к вложению Это дает

где используется равенство (8) из § 19.1. Коммутирование с для морфизма гладких многообразий есть частный случай предложения 19.2 с

Для квазипроективного неособого многообразия X тот факт, что есть гомоморфизм колец, можно получить из леммы о сдвиге, используя ее сильную форму, установленную в примере 11.4.2.

Аналогичные результаты выполняются для квазипроективных схем над любым алгебраически замкнутым полем со значениями в этальных гомологиях и когомологиях. Подробности, как и теоретикопучковый подход к классическому случаю, можно найти в докладах VI—IX семинара Этот подход приводит к нескольким важным обобщениям, включая: (1) гомоморфизм плоского обратного образа в гомологиях, согласованный с определенным в § 1.7 для циклов; классы циклов для многообразий, необязательно вкладываемых в гладкие многообразия, и для общих комплексных

пространств. Жилле ([Gillet 3]) строит классы их, для регулярных вложений без использования предположения о вложимости в гладкое многообразие.

Пример 19.2.1 (ср. [Baum - Fulton - MacPherson 1], IV.4, и [Fulton - MacPherson 3]). Для любого л.п.п. морфизма относительной размерности d существуют отображения Гизина

Они функториальны и согласованы с отображением цикла, т. е. для любого цикла а на К (Вложим X в гладкое тогда разлагается на вложение и последующую проекцию на У. Положим где Если кроме того, собственный, имеются функториальные отображения Гизина

Пример 19.2.2. Формула избыточного пересечения (ср. Пусть дан расслоенный квадрат

где (соотв. регулярное вложение коразмерности d (соотв. с избыточным расслоением (§ 6.3). Тогда

Произведение справа определяется так. Пусть с продолжим с до класса с на некоторой топологической окрестности многообразия При помощи вырезания отождествим и для элемента и из этой группы определим как сии.

Теорема 19.2 следует из этой формулы, так как после раздутия можно предполагать, что либо дивизор на У, либо совпадает с У.

Пример 19.2.3. Пусть морфизм полных схем, вкладываемых в неособые многообразия, над произвольным полем. Тогда так что контравариантный функтор для л.п.п. морфизмов. (Если а запишем образ а в в виде для некоторого и воспользуемся теоремой

Пример 19.2.4. Индексы зацепления. Пусть подмногообразия неособого комплексного многообразия указанной

размерности, собственно пересекающиеся в точке на X, так что Отождествим (комплексно-аналитически) окрестность с окрестностью в Пусть малая -мерная сфера вокруг Тогда пересекает V по вещественному -циклу, который обозначим через А. На самом деле, если замкнутый шар вокруг с границей то гомеоморфно конусу над А с вершиной Аналогично пересекает по топологическому -циклу В.

Индекс зацепления циклов на можно определить так. Выберем -цепь В на ограничивающую В, так что В определяет класс Пусть — двойственный к А класс (ср. пример 19.1.10). Тогда относительное - произведение лежит в так как и мы можем положить

Предложение.

(Так как ограничивается до то

Пусть Тогда определяет цепь на с границей В, а потому класс и

где Это вытекает из следствия 19.2 и того факта, что где — каноническая образующая

Таким образом, имеют границей В, поэтому цикл на Так как имеют одинаковый образ в Поэтому -циклы, входящие в имеют один и тот же образ в а значит, и одинаковую степень.)

Случай двух кривых на гладкой поверхности обсуждался в и

Пример 19.2.5. Аналитические пространства. Значительная часть теории пересечений, изложенной в тексте для алгебраических схем, переносится на аналитические пространства. (Нужно вместо аффинных конусов пользоваться проективными конусами и расслоениями, чтобы избежать рассуждений, использующих замыкание локально замкнутых подмногообразий.) Для пространств, вкладываемых в комплексные многообразия, применимы методы настоящей главы. Например, если

V и неприводимые аналитические подпространства комплексного многообразия X, то класс пересечения можно построить в если пересекаются собственно, это дает индексы пересечения, а значит, как аналитический цикл на При помощи методов гл. всегда представим аналитическим циклом на (ср. [King 3]).

Для дивизоров результаты гл. 2 переносятся без изменений. Такая тонкая теория пересечений бывает полезной при изучении семейств компактных аналитических (или алгебраических) многообразий, параметризованных кругом (ср. [Persson 1]).

Кратность аналитического многообразия в точке, как в гл. 4, равна степени проективного касательного конуса к этому многообразию в этой точке. Аналитически эту кратность можно реализовать как число Лелона многообразия в точке (ср. [Harvey 1], [Griffiths -Harris 1], 3.2). Вообще для любого замкнутого вложения аналитических пространств существует класс Сегре

Пусть — дивизоры, собственно пересекающиеся в точке на -мерном многообразии локальное уравнение для тогда

Для -мерного подмногообразия X в с метрикой Фубини — Штуди

где есть -мерное линейное подпространство в Это и другие соотношения между теорией объемов и теорией пересечений см. в обсуждении теоремы Виртингера в работах и

Пример 19.2.6. Пусть векторное расслоение ранга над схемой X с сечением схема нулей этого сечения. Тогда старший класс Чженя приходит из вполне определенного класса из а именно из где и -класс Тома расслоения Вообще, если замкнуто в X, ненулевое сечение над определяет такую локализацию (ср. [Atiyah - Bott -Shapiro 1], .

Комплекс векторных расслоений на пространстве точный вне замкнутого подпространства X, определяет локальный характер Чженя в (ср. [Atiyah - Hirzebruch 2], [Iversen 3]).

На самом деле нужно иметь расслоения над и точный комплекс над чтобы построить такой класс Этот характер Чженя согласован с определенным в § 18.1, т. е.

для любого

Пример 19.2.7. Топологическим соответствием между компактными ориентированными многообразиями называется класс Формализм гл. 16 проходит без изменений. Например, определяет гомоморфизмы по формуле где ряд — проекции в X к и аналогичные гомоморфизмы определена также композиция соответствий.

Если неособые комплексные многообразия и а алгебраическое соответствие, то топологическое соответствие и для

(Это следует из леммы 19.1.2 и следствия 19.2.)