Замечания и литература

В топологии Том показал, что множества вырождения достаточно общих отображений векторных расслоений над ориентированным многообразием должны быть двойственны по Пуанкаре некоторым универсальным многочленам от характеристических классов этих расслоений. Эти универсальные многочлены были найдены Портеусом [Porteous 2].

В алгебраической геометрии над неособым проективным многообразием X и в случае, когда множества вырождения имеют ожидаемую размерность, формулы для их классов в были получены Кемпфом и Лаксовом ([Kempf - Laksov 1]). Данное в § 14.3 и § 14.4 обобщение на произвольные особые многообразия и избыточные множества вырождения является новым. На самом деле раз аппарат гл. 1—7 годится для избыточных пересечений на возможно особых многообразиях, доказательство Кемпфа и Лаксова проходит без труда. Частный случай локализованного старшего класса Чженя обсуждался в работе [Fulton - MacPherson 1].

Осознание того, что исчисление Шуберта по существу совпадает с алгеброй многочленов Шура (появившихся из теории представлений симметрических групп), происходило неоднократно. Джамбелли [Giambeili 2], по-видимому, первым выразил общие детерминантальные множества через такие многочлены. Сами многочлены восходят к Якоби. Явная связь была отмечена Лезьё ([Lesieur 1]) после того, как Эресман ([Ehresmann 1]) нашел клеточную структуру и кольцо когомологий грассманианов, ср. [Horrocks 1]. Важность функций Шура была недавно разъяснена Ласку ([Lascoux 1-7]). Хорошее представление об этом дают семинары в Страсбурге (1976 г.) и Торуни (1980 г.) (ср. [Stanley 1] и [Dieudonne 2]). По поводу комбинаторных фактов о функциях Шура рекомендуется также книга [Macdonald 3]. Стоит отметить, что хотя многое из этой алгебры восходит к Шуберту, Пьери, Джамбелли и другим классикам алгебраической геометрии, общее правило для пересечения многообразий Шуберта появилось только после правила Литтлвуда — Ричардсона.

Для симметрических и кососимметрических множеств вырождений (ср. пример 14.4.11) первые формулы были также даны Джамбелли ([Giambeili 3]). Барт и А.Н. Тюрин рассмотрели частные случаи и применения к отображениям векторных расслоений. Общие формулы были даны в работах [Jozefiak - Lascoux - Pragacz 1] и [Harris - Tu 1], к которым мы и отсылаем за дополнительными приложениями и литературой.

Теория пересечений на грассмановых расслоениях с неособой базой изучалась в работах [Grothendieck 1], [Kempf - Laksov 1], [Laksov 2] и [Scott 3].

Важное обобщение исчисления Шуберта состоит в переходе от многообразий Грассмана и флагов к однородным многообразиям вида где параболическая подгруппа полупростой линейной алгебраической группы Мы отсылаем за этим к статьям: [Бернштейн — Гельфанд — Гельфанд 1], [Demazure 1], [Lakshmibai - Musili - Seshadri 1], [Marlin] и [Hiller 1-3]. Базис для многообразия флагов, описанный в примере 14.7.16, был дан в работе [Ehresmann 1]; он согласуется с возникающим при представлении многообразия флагов как

Интересное вычисление кольца когомологий грассманианов через нули векторных полей дано в работе [Carrell - Lieberman 1].

Статья [Kleiman 3] содержит общие конструкции и функториальные свойства расслоений рассмана, а также применения к сглаживанию циклов. Формулы для прямых образов Гизина для расслоений рассмана и флагов даны в работах [Damon 1], [Ilori 1], [Jozefiak - Lascoux - Pragacz 1] и [Harris - Tu 1].

Остаточная формула для классов Чженя в примере 14.1.4 новая. Избыточная формула Портеуса из примера 14.4.7 явилась результатом обсуждений с Эллингсрудом, Харрисом и Лазарсфельдом. Примеры 14.4.5 и 14.4.17 включают усиление и упрощение известных фактов о линейных системах на кривых.

Даже краткое изложение применений исчисления Шуберта к исчис-лительной геометрии могло бы удвоить объем этой книги; можно надеяться, что приведенные примеры дают некоторое представление о таких возможностях. Классический период отражен в книгах и статьях Шуберта, Цейтена, Пьери, Джамбелли и Севери. Книги [Semple - Poth 1], [Hodge - Pedoe 1], [Baker, 1, 2] содержат сотни таких применений. Современный обзор дается в статье [Kleiman 8]. По поводу других применений, классических и новых, см. [Griffiths - Harris 1] и [Arbarello - Cornalba - Griffiths - Harris 1].

Недавние исчислительные применения формулы Портеуса и близкие идеи можно найти в работах [Harris - Mumford 1], [Laksov 4, 5], [Eisenbud - Harris 1].