9.1. Вклад связной компоненты

Пусть схема, ее регулярно вложенные подсхемы, и V есть -мерное подмногообразие в Произведение-пересечение

является классом в где Оно строится применением процедуры из § 6.1 к диаграмме

Если связная компонента мы пишем

для части расположенной на и называем ее вкладом компоненты в пересечение

Предложение 9.1.1. Пусть ограничение на расслоения Тогда

Если регулярно вложена в V с нормальным расслоением то

Если неособые многообразия, то

Доказательство. Первое утверждение следует из предложения и формулы суммы Уитни (теорема Второе следует из предложения В последнем утверждении используется отождествление с факторрасслоением касательных расслоений (дополнение и формула суммы Уитни.

Глобальный класс пересечения является суммой вкладов связных компонент Следующего случая достаточно для многих исчислительных применений.

Предложение 9.1.2. Предположим, что и что состоит из связной компоненты и конечного множества Тогда степень равна

где обозначает степень поля вычетов точки над основным полем.

В исчислительных приложениях известна из глобальных соображений, например из теоремы Безу. Знание вклада определяет тогда (взвешенное) число остаточных точек. Следуя классической терминологии, при степень также называют вкладом в произведение-пересечение. Если мы пишем вместо

Замечание 9.1. Для произвольного вложения и любого обозначает -мерную компоненту полного класса Сегре Она рассматривается как элемент из или из любого где — замкнутая подсхема в содержащая

Пример 9.1.1. Пусть дивизоры Картье на -мерном многообразии Предположим, что связная компонента пересечения является кривой. Тогда

Если схемное пересечение дивизоров Картье то

Поэтому

Например, если то вклад равен

С другой стороны, если неособые многообразия, то

Поэтому

Например, если

где род кривой

Отметим, что вклад не обязательно кратен степени

Пример 9.1.2. Неособая кривая рода 1 и степени 5 в не является схемным пересечением никаких трех поверхностей в (Такая кривая не может лежать на квадрике, например, согласно примеру 15.2.2. С другой стороны, уравнение

не имеет решения в целых числах

Так как линейная система степени 5 и размерности 3 на кривой рода 1 неполна, такие кривые не являются линейно нормальными. Существование такой кривой, не являющейся пересечением трех поверхностей, составило проблему 7.3 работы [Peskine - Szpiro 1]. Другие примеры были даны Pao ([Rao 1]).

Тем же методом можно построить много других кривых, не являющихся пересечением трех поверхностей. Для любых степени и рода равенство (ii) предыдущего примера сильно ограничивает возможности для степеней трех поверхностей, которые высекают кривую.

Пример 9.1.3. Пространственная кубическая кривая в может быть представлена как пересечение трех квадрик. Если схемное пересечение трех поверхностей является пространственной кубической кривой, то эти поверхности должны быть квадриками. (Если их степени равны то

Но единственным решением этого уравнения в целых числах является

Аналогично при рациональная нормальная кривая в не может быть представлена как схемное пересечение гиперповерхностей. Это контрастирует со следующими фактами, верными над любым алгебраически замкнутым полем:

(i) Любое алгебраическое множество в является теоретикомножественным пересечением гиперповерхностей ([Eisenbud - Evans 1]).

(ii) Любая подсхема в которая локально является полным пересечением, будет схемным пересечением гиперповерхностей. (Следует выбрать d настолько большим, чтобы порождалось сечениями, где — идеал подсхемы, а затем применить конструкцию

из § 4.4 к этой системе, получая морфизм Если Ни гиперповерхности в такие, что то соответствующие гиперповерхности из линейной системы высекают нашу подсхему.)

Другой общий факт объясняет, почему вклад связной компоненты изучается главным образом для -циклов:

(iii) Если подмногообразия в и то всегда связно ([Fulton -Hansen 1]).

Пример Если три поверхности в степеней содержат прямую как связную компоненту их пересечения, то вклад этой прямой равен Три квадрики пересекаются по прямой и по четырем точкак вне этой прямой.

(b) Вклад неособой рациональной кривой Четвертой степени в пересечение четырех квадрик в равен 14, так что эти квадрики должны иметь еще две точки пересечения вне этой кривой.

Пример 9.1.5. Пусть -гиперповерхности в и предположим, что связная компонента пересечения является неособой поверхностью Тогда вклад равен

где .

Пример 9.1.6 (ср. [Severi 2], [James 1], [Semple - Roth 1], c. 228). Пусть дивизоры на неособом -мерном многообразии Предположим, что неособая кривая является теоретико-множественно связной компонентой пересечения но что кратность на равна Пусть раздутие вдоль его исключительный дивизор, и запишем

Предположим, что Положим Тогда

Бели род то вклад равен

(Пусть - проекция . Уменьшая можно считать, что Тогда

Сделанное выше предположение, что не имеют бесконечно близких пересечений над т. е. что необходимо. В случае когда все равны 1, оно соответствует нашему предыдущему предположению, что схемно высекают Например, пусть задаются уравнениями Если прямая то теоретико-множественно она является пересечением для всех но

Если к правой стороне формулы нужно прибавить образ В предыдущем примере XI трансверсально пересекаются в одной точке.

Пример 9.1.7 (ср. [Segre В. 1] для для Пусть неособые многообразия, кривая и Тогда

(Здесь класс канонического дивизора, и для

Если четырехмерно, поверхности, вклад равен

Например, пусть проекция поверхности Веронезе, плоскость и коника. Тогда вклад равен 3, и потому вне имеется еще одна остаточная точка.

Если на имеется конечное число особых точек, а их собственные прообразы на раздутии многообразия в этих точках становятся неособыми, можно использовать формулу в чтобы вычислять вклады на См. [Todd 3], где рассматривается пример, в котором поверхности имеют несобственные нодальные точки.

Пример 9.1.8. Плоские коники параметризуются пространством Коники, касающиеся данной прямой образуют гиперповерхность

в степени 2. Если даны 5 прямых никакие три из которых не имеют общей точки, то поверхность Веронезе двойных прямых является схемной компонентой пересечения Значит, вклад Ни равен

где А — класс прямой в (ср. пример 3.2.15(b)). Поэтому имеется одна остаточная точка, которая представляет единственную конику, касающуюся всех пяти данных прямых.

Пример 9.1.9 ([Fulton - MacPherson 2]). Коники, касающиеся данной коники образуют гиперповерхность степени 6 в Пусть раздутие вдоль поверхности Веронезе его исключительный дивизор. Тогда для некоторого дивизора Пусть теперь даны пять коник причем (i) никакие три из них не имеют общей точки и (ii) для любой прямой и двух точек на ней найдется коника которая или не касается этой прямой, или не проходит ни через какую из этих двух точек. Тогда Поэтому вклад в пересечение Но, равен

Предположим дополнительно, что (iii) никакие две коники из нашей пятерки не касаются друг друга и (iv) если даны две прямые, каждая из которых касается двух из наших коник, то точка пересечения этих прямых не лежит на пятой конике. Тогда все точки из расположенные вне изолированы и представляют неособые коники С. Индекс пересечения гиперповерхностей в точке, соответствующей С, равен где

Так как полный индекс пересечения равен 65 (согласно Безу),

В частности, если выбраны в общем положении, и поэтому имеется 3264 неособые коники, касающиеся пяти данных. (Эти вычисления годятся в любой характеристике, отличной от 2. В характеристике 2 гиперповерхности являются кубиками, и простые вычисления показывают, что число 3264 надо заменить на 51. См. пример 10.4.3 или статью [Vainsencher 3] по поводу другого подхода к случаю характеристики 2.) Обобщения см. § 10.4.

Пример 9.1.10. Класс зависит только от классов рациональной эквивалентности подсхем если XI рационально эквивалентны является также связной компонентой пересечения то

Однако в противоположность утверждению из работы [Segre 4], с. 20, класс может измениться — даже численно, — если заменить рационально эквивалентным многообразием. Пусть, например, пространственная кубика, плоская эллиптическая кривая и поверхности взяты достаточно большой степени Тогда

Пример 9.1.11. Пусть есть -мерное многообразие, дивизоры на одномерно. Пусть — кривая, содержащаяся в Индекс пересечения с остатком пересечения задается формулой

где Заметим, что представляет вклад в произведение-пересечение; интересно рассмотреть геометрическую интерпретацию члена наименьшей степени. Для обоснования такой интерпретации предположим, что раздутие вдоль его исключительный дивизор и проекция. Запишем Тогда является разумным геометрическим определением для индекса и

дает приведенную выше формулу.

Если неособая кривая степени и рода то

Пример 9.1.12. Предположим, что гиперповерхностей в степеней соответственно в пересечении дают неособые кривые которые пересекаются трансверсально (т. е. с различными касательными) в точках. Пусхь (соотв. обозначают степень и род (соотв. Тогда

Поэтому позволяют вычислить (Теорема Безу дает (i), предыдущий пример дает (iii). Меняя в (iii) местами получаем равенство, эквивалентное (ii).)

Например, если пространственная кубическая кривая, содержащаяся в двух квадриках, то прямая, пересекающая в двух точках. Если кривая рода 1 и степени 5, содержащаяся в двух кубических поверхностях, то, согласно предыдущим формулам, должна быть рациональной кривой степени 4 и пересекать в 10 точках.

Пример Пусть схема Гильберта наборов по к точек в подмногообразие, состоящее из коллинеарных наборов по к точек. Для любого подмногообразия пересечение

соответствует -кратным мультисекущим прямым к Однако любая прямая лежащая в X, дает избыточную компоненту этого пересечения. Например, пусть X — поверхность в содержащая конечное число прямых, прямая, лежащая в X и не проходящая через особые точки Тогда вклад в указанное выше пересечение равен где индекс самопересечения на Мы отсылаем к статье Барца за деталями и другими примерами.

Пример 9.1.14. Формула Херберта для кратных точек. Пусть собственная иммерсия неособых многообразий. Предположим, что вполне регулярна, т. е. для любых различных точек с одним образом образы касательных пространств находятся в общем положении в Пусть

и с редуцированной структурой. Тогда

в где Поэтому

Эти формулы были получены в работе [Herbert 1]. Роига ([Ronga 3]) выводит из формулы избыточного пересечения. Пусть

Пусть где симметрическая группа действует на последних к - 1 сомножителях. Существуют канонические собственные иммерсии такие, что такие, что Возьмем расслоенный квадрат

В силу формулы избыточного пересечения (предложение 6.5)

где избыточное нормальное расслоение. На самом деле есть обратный образ на откуда следует

Более общее обсуждение формул для кратных точек, включая случаи с ветвлением, см. в работах [Kleiman 8, 12] и [Ran 2].