10.1. Семейства классов циклов

В этой главе обозначает неприводимое многообразие размерности Выражение » обозначает, что регулярная замкнутая точка в (дополнение В.1). Кроме того, мы используем обозначение для где поле вычетов локального кольца многообразия в этой точке, и

для канонического вложения в Предположение о регулярности точки означает, что регулярное вложение коразмерности

Рукописные буквы используются для обозначения схем над соответствующие латинские буквы с индексом обозначают слой над Так, если дан то рассматривается как алгебраическая схема над полем

Любой -цикл а на или любой класс рациональной эквивалентности а определяет семейство классов -циклов для каждого по формуле

где тонкий гомоморфизм Гизина, заданный конструкцией из § 6.2 применительно к расслоенному квадрату

Говорят также, что специализация а в точке

Более точно, если где подсхема в чистой размерности то

где обозначает класс Сегре в У (Это следствие предложения и тривиальности нормального расслоения к (f) в В частности, если размерность равна к, то определен как

положительный -цикл, лежащий на пример 10.1.1). С другой стороны, если то

Если кривая и а есть -цикл на то каждый корректно определен как -цикл на В самом деле, пусть где многообразия; тогда положим

Таким образом, компоненты цикла а, не доминирующие попросту выбрасываются. В случае произвольный -цикя на уже не определяет -цикл на если только не предположить, что для всех

Для морфизма где тот же, что и выше, мы обозначаем через индуцированный морфизм слоев над Следующее предложение утверждает, что специализация в алгебраических семействах согласуется с главными операциями теории пересечений.

Предложение Если — собственный морфизм и а есть -цикл на то

(b) Если плоский морфизм относительной размерности и а есть -цикл на то

(c) Если регулярное вложение коразмерности причем также регулярное вложение коразмерности если морфизм и а есть -цикл на то

(d) Если векторное расслоение над с ограничениями на есть -цикл на то

Доказательство. Так как специализация есть тонкий гомоморфизм Пязина, это предложение следует из соответствующих утверждений для гомоморфизмов Гизина, а именно теоремы теоремы теоремы 6.4 и предложения

Следствие 10.1. Предположим, что неособо, точка рациональна над основным полем и гладкая схема над относительной размерности Если а то

Доказательство. Пусть (соотв. ) - диагональное вложение (соотв. , в ) и - вложение Тогда два вложения схемы совпадают. Поэтому из функториальности (теорема 6.5, пример 6.5.2) следует, что

Так как схема плоская над то для любого цикла у на (ср. пример 10.1.2). Поэтому написанное равенство эквивалентно требуемому

Замечание 10.1. Эти результаты позволяют получать тождества для интересующих нас классов рациональной эквивалентности при частных значениях из соответствующих тождеств для общих значений, даже если не рациональное многообразие. Пусть, например, дано неособое многообразие и Чтобы доказать, что с достаточно найти морфизм как в следствии 10.1, с такие, что Если при этом а пересекает собственно, равенство можно проверять над общими точками многообразия Применение этого замечания см. в примере 10.1.9.

Следствие 10.1 выполняется также для произведения нескольких циклов, как видно из доказательства.

Пример 10.1.1. Если У— чисто -мерная замкнутая подсхема в и каждая неприводимая компонента слоя имеет размерность к, то

где кратность вдоль V в W, (пример 4.3.4).

Пример 10.1.2. Предположим, что - регулярное вложение коразмерности Тогда для -цикла а на имеем где гомоморфизм Гизина из § 6.2. (Используем теорему Это выполнено, например, если плоско над (ср. пример А.5.5).

Пример 10.1.3. (а) Если а — семейство циклов на то циклы при разных не обязаны быть рационально эквивалентными.

Например, если неособая проективная кривая положительного рода и где диагональ, то рационально не эквивалентно при Однако если унирациональное многообразие, то циклы рационально эквивалентны между собой (пример 10.1.7).

(b) Если циклы рационально эквивалентны на то рационально эквивалентен на при всех (Тонкое отображение Гизина сохраняет рациональную эквивалентность.) Сомнения в справедливости этого факта или по крайней мере в его обоснованности вызвали некоторую критику методов Севери (ср. [van der Waer-den 6]).

Пример 10.1.4. Предположим, что морфизм относительной коразмерности в то время как морфизм относительной коразмерности d. Пусть избыточное нормальное расслоение диаграммы

Тогда для любого -цикла а на

В частности, если то (См. предложение 6.6.)

Пример 10.1.5. Пусть неособо, точка рациональна над основным полем, гладкий морфизм относительной размерности морфизм. Пусть Тогда

Произведение слева понимается в смысле гл. 8, так как неособо; справа — график -является регулярным вложением, так как неособо. (Надо рассмотреть расслоенный квадрат

разложить нижний гомоморфизм в применить теорему 6.5. Отсюда видно, что на самом деле эти классы совпадают даже в

Пример 10.1.6 (ср. [Samuel 3]). Пусть унирациональное многообразие над алгебраически замкнутым полем.

(a) Любые две точки в можно соединить цепочкой рациональных кривых. (Пользуясь стандартными редукциями, достаточно доказать следующий факт. Пусть раздутие вдоль подсхемы его исключительный дивизор и тогда существует морфизм такой, что Чтобы показать это, возьмем неособую кривую С и морфизм такой, что Пусть координаты на и пусть образующие идеала Выберем целое число большее, Чем для Выберем так, чтобы разложение в степенной ряд в совпадало с разложением до порядка Тогда где А — требуемый морфизм.)

(b) Если полно, то и порождается классом любой точки Т. (Надо использовать теорему 1.4.)

(c) Если неполно, (Если открыто в то порождает Но ограничение из сюръективно и переводит в 0.)

Севери предположил, что полная неособая поверхность такая, что должна быть рациональной; контрпример был построен в работе [Bloch - Kas - Lieberman 1].

Пример 10.1.7. Пусть неособое многообразие над алгебраически замкнутым полем, любые две точки которого соединимы цепочкой рациональных кривых.

(a) Пусть схема и а есть -цикл на Тогда все классы циклов совпадают. Следует использовать теорему 6.5, чтобы свести все к случаю, когда открытое подмножество в . В этом случае обратный образ

сюръективен, где проекция (предложения 1.9 и 1.8). (Если вложение над то

(b) Пусть схемы и морфизм, т. е. семейство морфизмов параметризованное Предположим, что морфизм определенный формулой собственный. Тогда каждый морфизм собственный и индуцированные морфизмы

не зависят от (Это следует из (а), так как по предложению

Из (а) следует, в частности, что критерий рациональной эквивалентности из § 1.6 может быть распространен на семейства циклов, параметризованные любыми унирациональными многообразиями (ср. [Samuel 5]).

Пример 10.1.8. Если даны морфизм и положительный -цикл а на то каждый класс а, может быть представлен неотрицательным циклом. (Возьмем в окрестности главных дивизоров пересекающихся по Тогда По построению пересечение с дивизором, имеющим тривиальное нормальное расслоение, сохраняет неотрицательность цикла.) Обобщения см. в гл. 12.

Пример 10.1.9. Пусть С — неособая проективная кривая и симметрическая степень, точки которой есть эффективные дивизоры степени на С. Для эффективного дивизора А на С положим

Если то образ вложения которое переводит Для любых эффективных дивизоров на С

где (Если разделены, пересечение трансверсально. В общем случае положим и пусть соответствует А. Пусть образ вложения (соотв. которое переводит в (соотв. в Тогда

как циклы на В самом деле, пересечение трансверсально над открытым множеством в состоящим из дивизоров, разделенных с В. Так как специализируется в в в точке следует из предыдущего равенства и следствия 10.1.) Соответствующее равенство в было доказано в статье [Mattuck 1] с использованием линейной эквивалентности между для дивизоров разделенных с В.

Пример 10.1.10. Пусть дан морфизм и конус над такой, что плоский над Тогда для (Это следует из определения классов Сегре в § 4.1 и предложения 10.1 (b), (d) и (а).)