19.3. Эквивалентность на неособых многообразиях

В этом параграфе X будет неособым комплексным проективным многообразием размерности Группы циклов будут снабжаться верхним индексом, указывающим коразмерность. Наша цель — дать обзор известных фактов о связях между группами, определенными в § 19.1:

19.3.1. Дивизоры. Для положение понято достаточно хорошо. В этом случае

(iii) группа Нерона — Севери конечно порождена;

(iv) многообразие Пикара имеет структуру абелева многообразия размерности

(v) — конечная группа.

В основе этих фактов лежит когомологическая последовательность точной последовательности пучков

где и теоремы что Это дает точную последовательность

Граничное отображение это первый класс Чженя, т. е. Многообразие Пикара есть фактор по образу который является решеткой в Утверждения следуют из этих фактов.

19.3.2.    

Так как конечно порождена (например, потому что X — компактное многообразие), группа конечно порождена. Поэтому

(i) - конечно порожденная свободная абелева группа;

(ii) - конечная группа.

Неизвестно, совпадают ли гомологическая и численная эквивалентности при всех т. е. верно ли

При это тривиально верно, для верно согласно 19.3.1. Либерман ([Lieberman 1]) проверил равенство для также для любых в том случае, когда X — абелево многообразие. В общем случае вопрос тесно связан со «стандартными гипотезами» Гротендика (ср. пример 19.3.14 [Grothendieck 6], [Kleiman 2]).

19.3.3.    

Гриффитс ([Griffiths 2]) показал, что может отличаться от если Он построил трехмерное многообразие с бесконечной группой В работе показано, что если X — якобиан общей кривой С рода умножение на - класс образа в X, то класс алгебраически не эквивалентен нулю при хотя и гомологичен нулю, потому что тождествен на Другие естественно возникающие примеры даны в статье [Ceresa - Collino 1].

Недавно Клеменс ([Clemens 1]) показал, что для трехмерного многообразия может быть не конечно порожденной.

Неизвестно, всегда ли конечна группа

19.3.4.

При структура групп была найдена лишь в небольшом числе случаев. В некоторых случаях эти группы обладали структурой абелева многообразия, обычно в результате их связи с якобианами некоторых кривых, ассоциированных с См., например; [Мигге 2], [Bloch - Мигге 1], [Beauville 1].

Однако в общем случае при группы могут оказаться больше любого абелева многообразия; это видно из примеров Мамфорда, обсуждаемых ниже.

19.3.5. Нуль-циклы. При имеем Интерес представляет группа

нуль-циклов нулевой степени по модулю рациональной эквивалентности.

Мамфорд ([Mumford 3]) показал, что когда X — поверхность геометрического рода то не может обладать структурой абелева многообразия, для которой канонические отображения

являются морфизмами алгебраических многообразий, где фиксированная точка. В самом деле, слои этого отображения устроены так, как если бы было бесконечномерным.

Блох предположил, что конечномерно в случае Обсуждение свидетельств в пользу этого см. в работах [Bloch - Kas - Lieberman 1] и [Bloch 4]. По поводу связи с векторными расслоениями см. [Murthy - Swan 1].

Для произвольного X в работе [Ройтман 2] показано, что каноническое отображение (пример 1.4.4)

в многообразие Альбанезе индуцирует изоморфизм на элементах кручения.

19.3.6. Теория Ходжа. Когомологии многообразия X с комплексными коэффициентами имеют каноническое разложение Ходжа

где Если а — алгебраический цикл коразмерности на X, то образ лежит в

Это следует из того факта, что если локальные голоморфные координаты на X, то форма, содержащая более, чем или должна обращаться в нуль на неособом подмножестве подмногообразия коразмерности

При теорема Лефшеца — Ходжа утверждает, что кяждктй класс из являющийся образом алгебраичен. Это доказывается прямым вычислением (ср. [Griffiths - Harris 1], с. 178). Для известная гипотеза Ходжа состоит в том, что каждый класс из является рациональной комбинацией алгебраических циклов.

Главная цель теории промежуточных якобианов состояла в изучении алгебраических циклов с помощью комплексных торов и отображения Абеля — Якоби

обобщающего отображение для -циклов. Гриффитс, модифицируя конструкцию Вейля, определяет

где (соотв. ) обозначает образ (соотв. ) (соотв. ), а обозначает дуализацию вещественного векторного пространства. Положим

Тогда

где обозначает дуализацию комплексного векторного пространства. Это задает комплексную структуру на

Представим цикл как границу -цепи (или потока) и определим как функционал

Эти комплексные торы меняются голоморфно, когда X меняется в голоморфном семействе Если а — цикл коразмерности на тотальном пространстве специализации которого гомологичны нулю на то можно изучать, как меняется в зависимости от По поводу некоторых успешных применений этих конструкций см. [Griffiths 2, 3], [Clemens - Griffiths 1], [Zucker 1], [Carlson - Green - Griffiths - Harris 1].

Гипотеза Ходжа также тесно связана со «стандартными гипотезами» Гротендика об алгебраических циклах ([Grothendieck 6]. [Kleiman 2]). О некоторых недавних продвижениях в гипотезе Ходжа см. [Deligne - Milne - Ogus - Shih 1].

Пример 19.3.1. Пусть X — неособая проективная поверхность. Группа

— свободная абелева группа ранга Она играет важную роль при изучении кривых на X (ср. [Mumford 2], [Beauville 2]).

(a) По теореме Ходжа об индексе (пример 15.2.4) спаривание пересечения

— совершенное спаривание над индекса Иначе говоря, если дивизоры на то причем равенство достигается только тогда, когда некоторое кратное дивизора алгебраически эквивалентно нулю.

(b) Пусть X — раздутие X в точке Тогда

причем перпендикулярно к (См. предложение 6.7; е - класс исключительного дивизора.)

(c) Пусть где векторное расслоение ранга 2 над кривой Тогда имеет базис х, у с где . Для любого дивизора на X

где для любого обильного дивизора на Равенство достигается, когда зависимы в (Применим (а) к

Пример 19.3.2. Индекс равен индексу симметрической билинейной формы на заданной -произведением (спаривание пересечения). Если теорема об индексе из примера 15.2.11 утверждает, что

Эквивалентно, при

в силу примеров 18.3.7 и 15.2.2.) Так как спаривание устанавливает двойственность теорема об индексе эквивалентна утверждению, что индуцированное спаривание на имеет индекс Это влечет за собой теорему об индексе примера 15.2.4.

При теорема Ходжа об индексе также дает ограничения на алгебраические циклы. Пусть, например, четно и а. есть р-цикл на X, такой, что гомологичен нулю для обильного дивизора Тогда

и равенство возможно, только если а. гомологичен нулю. Для известно только трансцендентное доказательство. Обобщения для см. в работе [Kieiman 2].

Пример 19.3.3. Пусть X — проективное многообразие размерности над алгебраически замкнутым полем и обильный дивизор на Для дивизора Картье на X следующие утверждения эквивалентны:

(i) для любого -цикла а на X; х

(ii) алгебраически эквивалентен нулю в для некоторого

(iv) для любого когерентного пучка .5 на

В частности, численно эквивалентен нулю тогда и только тогда, когда его ограничения на любое гиперплоское сечение X численно эквивалентно нулю. (Для неособого комплексного многообразия следует из трудной теоремы Лефшеца и теоремы об индексе на поверхностях. Эквивалентность следует из теоремы Римана — Роха для особых многообразий. Детали см. в работе [Matsusaka 1] и докладе Клеймана

Вейль [Weil 5]) показал, что если X нормально и (ср. [SGA 6], XIII.3), то линейно эквивалентен нулю тогда и только тогда, когда его ограничение на общее гиперплоское сечение линейно эквивалентно нулю. Аналогичный результат справедлив для если

Для циклов коразмерности имеется мало результатов такого рода. Заметим, что, согласно примеру Гриффитса, -цикл а на -мерном многообразии X может быть гомологичен нулю, так что

ограничение его на любую поверхность в X алгебраически эквивалентно нулю, в то время как ни одно кратное цикла а алгебраически не эквивалентно нулю.

Пример 19.3.4. Пусть дивизор Картье на комплексном многообразии X, соответствующий линейному расслоению с сечением Тогда представляется формой форма кривизны любой связности на эквивалентно, где норма берется относительно эрмитовой метрики на с. 141.)

Вейль показал, что для проективного многообразия X дивизор гомологичен нулю тогда и только тогда, когда является вычетом замкнутой мероморфной -формы на распространении этого результата на -циклы и циклы произвольной размерности см. [Griffiths 5] и [Coleff - Herrera - Lieberman 1].

Пример 19.3.5. Для используя конструкцию Серра, Атья и Хирцебрух дали примеры классов конечного порядка в которые не являются алгебраическими.

Пример 19.3.6. Пусть пучок, ассоциированный с предпучком в топологии Зариского на неособом комплексном многообразии В работе показано, что имеется естественный изоморфизм

Пример 19.3.7. Каноническое разложение

где (теорема 3.3), индуцирует соответствующие изоморфизмы на подгруппах где обозначает любую из групп и Нош. В частности, имея примеры где соответствующая факторгруппа большая, можно, умножая на получить похожие примеры с большей размерностью или коразмерностью.

Пример 19.3.8 ([Ройтман 2], 4.2). Пусть -мерное многообразие X является неприводимой компонентой пересечения гиперповерхностей степеней Тогда Однако если X — неособое полное пересечение гиперповерхностей и то бесконечномерное.

Пример 19.3.9. Если X — неособое многообразие, образы в являются идеалами. Факторгруппа группы по любой из этих подгрупп является градуированным кольцом, контравариантным относительно морфизмов неособых многообразий.

Пример 19.3.10. Пусть X — неособое полное пересечение в Тогда для так что для В работе задается вопрос: будет ли для

Пример 19.3.11. Привлекая семейства циклов, параметризованных абелевыми многообразиями, можно определить несколько отношений эквивалентности, лежащих между За этим мы отсылаем к работам [Samuel 4], [Weil 5], [Griffiths 3] и [Kleiman 4].

Пример 19.3.12. Пусть X — комплексная схема, вкладываемая в неособую схему. Положим

где прямой предел берется по всем морфизмам в неособые (ср. пример 8.3.13). Тогда существует индуцированный гомоморфизм градуированных колец

Существует ли такое отображение, когда кольцо бивариантных когомологий § 17, мы не знаем.

Пример 19.3.13. Если голоморфное отображение, то отображение Абеля — Якоби 9 коммутирует с Аналогично, если алгебраическое соответствие, то для любого цикла а на

(ср. пример 19.2.7). Обсуждение этого факта см. в работе а используемую технику — в работе

Тот факт, что 9 равно нулю на , можно рассматривать как частный случай этой формулы (ср. [Lieberman 2]). В самом деле, цикл из имеет вид для некоторого соответствия и цикла а нулевой степени на Тогда так как

Пример 19.3.14. Если состоит из рациональных линейных комбинаций алгебраических циклов (т. е. если гипотеза Ходжа верна для -циклов на X), то