17.3. Гомологии и когомологии

Пусть где К — основное поле. Для каждого целого имеется канонический гомоморфизм

переводящий бивариантный класс с в

Предложение является изоморфизмом

Доказательство. Для а определим бивариантный класс следующим образом: для морфизма положим

где а — внешнее произведение Так как внешние произведения согласованы с собственными прямыми образами, плоскими обратными образами и пересечениями (предложение 1.10, пример 6.5.2), бивариантный класс. Ясно, что так что тождествен. Чтобы показать тождественность нужно показать, что

для всех В силу согласованности с прямым образом можно считать, что где -многообразие размерности k. Тогда где морфизм Так как с коммутирует с плоским обратным образом,

Определение 17.3. Для схемы X и целого определим группу когомологий равенством

Таким образом, элемент с это набор гомоморфизмов для всех согласованых с собственными прямыми образами, плоскими обратными образами и пересечениями В частности, элемент действует как тождественные гомоморфизмы на всех так что

Умножение, связанное с морфизмами определяет -произведение

превращающее в ассоциативное градуированное кольцо с единицей 1. Для любого обратный образ является гомоморфизмом колец, функториальным по

Имеются также канонические гомоморфизмы

переводящие с в Если отождествить с это превращается в бивариантное умножение, связанное с морфизмами Такое -произведение превращает в -модуль. Выполняется формула проекции

для (Все эти утверждения являются формальными следствиями семи приведенных выше аксиом.)

Пусть дано векторное расслоение над схемой X и целое число тогда можно определить класс Чженя Действие на , определяется посредством формулы

где справа стоит класс, построенный в § 3.2. Теорема и предложение 6.3 утверждают, что бивариантный класс. Кроме того, все формальные тождества, установленные в § 3.2 для классов Чженя, остаются верными для этих классов.

На самом деле классы Чженя коммутируют с любыми

бивариантными классами. Иначе говоря, любая операция, коммутирующая с прямыми и обратными образами и пересечениями, автоматически коммутирует с классами Чженя.

Предложение 17.3.2. Пусть и -векторное расслоение над Тогда

индуцирован морфизмом

Доказательство. Так как классы Чженя — многочлены от классов Сегре, которые происходят из операций (ср. § 3.1), и так как с коммутирует с остается показать, что с коммутирует с где линейное расслоение над Можно также считать многообразием, так что где дивизор Картье на V Заменяя V на V, где собственный и бирациональный морфизм, можно предполагать, что где эффективные дивизоры (ср. теорему 2.4, случай 3). Так как можно считать эффективным. Пусть вложение Тогда и так как с коммутирует с с коммутирует с

Пример 17.3.1. Если схема X замкнута в можно определить аналог локальных когомологий, полагая

Если также замкнута в имеется умножение

где вложение Это умножение ассоциативно и утончает с произведение на

Пример 17.3.2. Пусть X — схема и собственный морфизм, такой, что каждое неприводимое многообразие в X есть бирациональный образ некоторого подмногообразия из Тогда гомоморфизм инъективен. Более общо, для любого вкладывает (Для любого где V — многообразие, существует собственный бирациональный морфизм такой, что композиция пропускается через Тогда действие на пропускается через действие и действие на определяется действием на по

Пример 17.3.3. Пусть морфизм. Пусть наибольшая размерность слоя Тогда

В частности, для любой схемы X

(Пусть с или Достаточно показать, что где а -многообразие. Ограничивая на замыкание можно считать многообразием, доминантным морфизмом. По теореме уплощения ([Raynaud - Gruson 1], 5.5.2) существует собственный бирациональный морфизм и замкнутая подсхема такая, что индуцированное отображение плоско, а бирадионально. Согласно достаточно показать, что Согласно Но лежит в группе нулевой в силу того, что